RATONS D£ COURBURE PRINCIPAUX
lG5
gré qui donile les deux rayons de courbure principaux. En effet, si Ton égale entre elles les deux valeurs de m en fonction de --^ que donnent les équations (17)) on a
Pi Pi
Une des courbures principales est nulle [673] lorsqu'on a
nzrO.
681. On peut parvenir aux équations (16) d'une autre manière. Si MM' est une section principale, l'équation (i) donne ^ = 0; partant, les normales à la surface aux points M et M' se rencontrent. De plus, des équations (2) et (3), jointes àsind==i, il résulte MN = MO = R. Donc le point de rencontre de ces normales est le centre de courbure de la section principale.
Cela posé, les équations de la normale.
doivent subsister en même temps que leurs différentielles par rapport aux coordonnées de la surface, ce qui donne, en ayant égard à (5),
OU, en mettant, pour ^ — x, r, — y,l^ — z, leurs valeurs aR, (3R, 7R,
R=(aÉ?a -4- (3 rf|3 4- 7^7) = o.
On a donc
[l — x)da-h0Ldx=zOf [r}—y)dp-^^djr=:0, ffi— z)dy -{-ydz =:0y
d'où Ton tire
. . dx djr dz
comme nous l'avions trouvé dans le numéro précédent.
l66 LIVBB III. — GHAP. II, § V.
682. Si Ton introduit les dérivées partielles de z par rapport à a: et à ^, on a, à cause de dp = r dx -\- s dy^ dq = sdx -f- tdy^
diK — d^
k^dp — pkdk (q*-^\]dp — pqdq
» "" ifc»
d'où
k^0L^—[q*-\-l]r — pqs, /»a,:= [q^ -\- v] s — pqt.
et de même
Telles sont les valeurs à substituer dans Téquation (i8) et dans Téquation (19)9 qui devient, en faisant— =-. u.
«*-(- («i+Pi) «-t-
Pi |3.
En développant Texpression
[119], on trouve qu'elle se
réduit à — (^2-hy^-l- i) (/t — 5*). Donc la condition (20) pour
qu'une des deux courbures principales soit nulle est encore ici, dans le cas général, la même,
( a3 ) rr — ,j' = o,
que dans le cas particulier du n? 673.
683. Nous avons démontré, dans le paragraphe précédent, qu'il existe toujours deux sections principales, et par suite deux rayons de courbure principaux en chaque point d'une surface. Il s'ensuit de là que l'équation (2a) aux rayons de courbure principaux doit toujours avoir ses racines réelles, d'où résultera aussi la réalité des racines de l'équation (18) aux sections principales.
On peut d'ailleurs le vérifier directement comme il suit. La condition de réalité des racines de chacune de ces équations est que la quantité
(«i + |3,)*-4(«il3.-«tPi) = («i-l3«)*-+-4«tl5i
OMBILICS. 167
soit positive. Or les valeurs de ai» (Xs? Pnj^s donnent identiquement; par Télimination de s, puis de (y*^- 1) /• — (/^^4- i) ^,
Donc
(/''-M)[{«i-?i)*H-4««M = (7^* + ") («1- ?i)* -^ 47>7(«i- W Pi -+- 4(7' ^- Pî
quantité essentiellement positive. Il en est donc aussi de même du facteur (a, — ^2)'-+- 4*2Po ce qui démontre la réalité des racines des équations (18) et (22).
684. Pour que l'expression que nous venons de décomposer en une somme de trois carrés soit nulle, il faut que chacun des carrés soit nul, et, par suite, que Ton ait Pi == o, «4 — Pq^ o, d'où, en vertu de l'identité précédente, «2=0. Donc les conditions pour que les deux rayons de courbure principaux soient égaux, ou pour que le point soit un ombilic [673], sont que l'on ait
(24) «î=o, «1=^-^,, Pi=o,
ou, en mettant pour ces quantités leurs valeurs,
Ces équations, jointes à celles de la surface, déterminent les trois coordonnées d'un ombilic.
On peut encore tirer ces équations des équations (17), en exprimant que la valeur de R est indépendante de m; ou encore de l'équation (18), en exprimant que, toute section étant une section principale, m doit être indéterminé, et par suite l'équation en m doit se réduire à une identité.
Pour déterminer, dans ce cas, la valeur de R, on a, le radical étant nul.
Il — •
Si l'on désigne par jEjila valeur commune des rapports ( ^5), et que
l68 LIVRE III. — GHAP. II, § V.
Ton mette pour cti = (32 sa valeur, il vient
685. Exemple. — Cherchons les ombilics de la surface du second degré
aj.--h- bj--\- cz'r= k.
Les cosinus a, (3, y des angles de la normale avec les axes sont donnés par les équations
ax bjr cz (V
en posant, pour abréger,
Formons l'équation (i8) aux sections principales, puis écrivons qu'elle devient identique. Cette équation équivaut à ~- = ;> » on
^ ' dx djr djc djr
Or, en éliminant z au moyen de l'équation de la surface, on a
w^—a[a — c)x' -\'b[b — c)7*-4- c/- = Ax* 4- Bj* -H c/:,
d'où wdw r-= Ax dx -h Ujdy. L'équation (A) devient donc [a — b) w^dxdy — [axdjr — bjrdx) wdw^= O,
OU, en substituant, réduisant, et faisant m = — »
ax
Baxj^./;z*-f- [Abx^ — B^j* — [a — b]ck]m — Abxj'z=. o. Cette équation devient identique, si l'on pose
x^' = o, Aba* — Bajr- — [a — b)ck = o,
ce qui donne deux systèmes de solutions :
I X=:0, Aj=— — A-— ^ fï CZ-:=k-)-. (>
^ ' * -^ a(ù —c) a[b — c) (II) > -o, ca-— k —j '-, ax^=:kj^. .•
OMBILICS. 169
Pour avoir tous les ombilics possibles, il faut joindre à ces deux systèmes de solutions ceux que Ton obtiendrait en projetant sur un autre plan coordonné, sur celui des yzy par exemple. On retrouve de cette manière le système (II), avec le suivant :
Supposons k positif, et a]>i > c. Dans Tellipsoïde, le système (II) sera le seul qui donne des valeurs réelles pour x^j, z. On aura alors quatre ombilics, compris dans le plan du grand et du petit axe. Dans Thyperboloïde à une nappe, a et J étant positifs, c négatif, aucun des trois systèmes ne donnera de valeurs réelles. Dans rhyperboloïde à deux nappes, a > o, i et c étant <[ o ; ce sera encore le système (II) qui donnera quatre ombilics réels.
Pour avoir le rayon de courbure correspondant, Téquation (19), ayant ici ses racines égales, donne, à cause de ot^ = jBs (^4) ^^ dej=o,
R 2 ^^ ôjr w
En effectuant les calculs, et substituant les valeurs précédentes, on trouve
'ack
686. Théorème. — Une surface dont tous les points sont des ombilics est une sphère.
En effet, on devra avoir, d'après les conditions (24), en chaque point de cette surface.
On a d'ailleurs
d'où
Oidx "{■' pdf -^ydz — 0,
dz CL dz p ôx yàjr y
et partant
dy dx dy ôx
c'est-à-dire, en ayant égard aux équations (A),
La relation a'^-\-^^'\-y^z= \ donne d'ailleurs
doL - dS dy doi . dS dy
Effaçant les termes qui s'annulent en vei*tu des équations (A), et ayant égard à l'équation (B), il vient
Or, d'après les équations (A), a ne peut être que fonction de j?, et (3 ne peut être que fonction de y. Les dérivées de ces fonctions devant être égales entre elles, quels que soient x et j'y ne peuvent
être qu'égales à une même constante . En désignant celle-ci par - y et
représentant par a, b d'autres constantes, on en tire, par l'intégration,
^ ^ fl Y - ^ I .
a=r' — - — 9 p= — - — 5 d'où 7= T V^^^- (-^ — «)*— (j — ^J*.
On a donc
adx -\- Sdy (.r — a)d.T -f- [y — b)dy
7 y/A«(x — a)«--(jr— 6)»
d'où, en intégrant et désignant par c une nouvelle constante,
(.r - «)«-+- [x - by-^ [z - cYz^h\
équation d'une sphère.
