SECTIONS PRINCIPALES
On a ensuite
, ^. ^ (pdq — g dp] dz -h dg dr — dpdy , ^ dpdx-^dgdy {i5) cos0 = -^-— ^1 ^ .. . — T-^ ^— ^> smô== '^ • ^ .
k} dta ds
kdoids
On peut parvenir d'une autre manière aux formules précédentes. Les équations de la normale étant
i — x îî— r ç
on a [630], pour la distance des deux normales consécutives,
dt dZ
dl dJi
dX
dY
On voit d'ailleurs, comme au numéro précédent, que le dénominateur de cette expression a pour valeur S'rfo). Donc FéquatioD (i) donnera
cosô = -T- =
ds S*dsd(ù
On obtiendra ensuite sind comme au n^ 678.
En faisant X = a, Y = p, Z = y, S = i , on aurait les formules du n» 678.
680. Détermination des sections principales et des rayons de courbure principaux. — Si MM' est une section principale, on doit avoir [676] cos0 -- o, c'est-à-dire [678]
kdr -4-B4r-i-C«/3=3 0,
équation qui, jointe à l'équation (5), adûr-r-^dj -hydz donne
dxldjrldz
Or
irrr 7 ( y r/a — ady) — P ( « ^J3 — ^da)
= rfa(a'-+-/3*-f-7*) — a(aJ«+ ^d^-hydy) =: du,
l64 LIVRE III. — CHAP. II, § V.
et de même pour les autres. Donc les sections principales sont déterminées par les équations
. ^. flx dr dz
qui sont la conséquence Tune de Tautre, comme on le voit en
ajoutant les rapports terme à terme, après avoir multiplié leurs
deux termes respectivement par a, p, y, et ayant égard à Téquation
( 3 ) et à ce que a rfa 4- j3 rfj3 H- y rfy = 0.
Si Ton élimine z et dz entre les équations (16) et Téquation de
la surface [dont les équations (16) comprennent la différentielle],
dr on obtiendra une équation différentielle entre x,y ^^ ^ » ^^î ^^"
terminera le coefficient d^inclinaison de la projection de la tangente à la section principale sur le plan des xj.
De plus, sind étant égal à Tunité, on a, pour une section principale,
d'z=zdtù = y/dx'^ -f-^p' + r/y»,
et par conséquent les équations (16) donneront
d.c dr dz ds
da. dp dy dz
Si, après Télimination de dz, on pose
dr doL :=. oLyda: -{- aj djr^ dp zrz p^dx -^ p^ djr, -^ zizniy
dx
les équations précédentes pourront s'écrire, en prenant pour R le signe inférieur, d'après ce que nous verrons plus loin,
(17) «i+aj^w^l^, ^4-p,= - i.
On en tire d'abord
(18) «im*4- (aj— 5,)/n— (3i=o,
équation qui donne pour m deux valeurs, correspondantes aux deux sections principales, et à chacune desquelles appartient une valeur de R.
On pourrait aussi former directement l'équation du second de-
