Soit proposé maintenant de mener une tangente (ou une
normale) parallèle à une direction donnée. On cherchera pour cela les points de la courbe pour lesquels -~- aura une valeur donnée a. En remplaçant y' par cette valeur dans l'équation
il vient
équation de degré m — i , sif[x,y) est de degré m. Cette équation, combinée avec la proposée, déterminera ni[m — i) solutions, comme pour le cas de la tangente menée par un point donné
515. Voyons maintenant comment on peut déterminer la tangente à des courbes rapportées à d'autres systèmes de coordonnées que le système rectilîgne.
Considérons d'abord le cas des coordonnées polaires. Nous avons vu [194] que l'on détermine la tangente à une courbe rap-
Fig. 35.
portée à un tel système de coordonnées, au moyen de l'angle Q que fait la direction de la tangente, qui correspond au sens des angles/; croissants, avec le prolongement du rayon vecteur. Cet angle est égal à la limite de l'angle M'MR {fig. 35) ou à celle de l'angle
10 LIVRE m. — GHAP. I, § I.
SM'R' = MM'N. Si Ton abaisse MN perpendiculaire sur OM', on a, en posant la corde MM'= ds,
M'N = ^jcosMM'N. MN =: dlrsînMM'N.
Or M'N = M'm -h wN, si Ton prend Om = OM, et nous avons vu [194] que mN est un infiniment petit du second ordre. On a donc, aux quantités près du second ordre, M'N = dr. On a pareillement, avec la même approximation,
MN = r sin ^ = rdp — - — z=z rdp.
dp
Donc, en prenant au lieu de MM'N sa limite d, on aura
dr=zdscosQj rdp=^ dssinO^
d'où Ton tire les formules
ds ^^ yjdr^ -+- r* dp^ = dp ^r* -h /*,
^ dr r' . ^ rdp r
ces = — - := • 5 Sin :=: —f-~ = -^=z-- »
ds ^r^^r'^ «* ^r^-^r'*
rdp r
tangd
dr r'
516. On peut encore obtenir tango en partant de Téquation de la tangente en coordonnées rectangulaires. Si Ton désigne par t Tangle de la tangente avec Tangle des x, on a 0= t — p. D'ailleurs
djr y
xangT =
Donc
xdy — ytlx rcosp d[r siny?) — rûnp d[r ces/?)
xdx-t-ydy ï^(''*)
d'où l'on tire la même valeur que ci-dessus.
Ou bien encore
cos
/ X dx X dy Y ^d(r^) dr
$z=C0s{r-p) = --- - + -^i:= ?— L J:=: , ^ ds r ds r rds ds
et de même pour sinS.
517. Il est quelquefois avantageux d'introduire, au lieu durayon
