S0U8-TAN6ENTES, ETC., POUR LES COORDONNÉES POLAIRES. II

vecteur r, son inverse u = - • On a alors

du dr

d'où

I !• dz)

tangd

udp u du u'

ds— - yldu^ 4- u'dp^ = ^ Jtt* -h u'^.

518. Si Ton prolonge la tangente et la normale jusqu'à la rencontre, en T et en N {J^g' 36), de la perpendiculaire TON au

Fig. 36.

rayon vecteur, les segments OT,ON de cette perpendiculaire sont dits la sous-tangente et la sous-normale dans le système des coordonnées polaires. Les distances MT, MN, comptées à partir du point de contact, sont appelées la tangente et la normale.

Chacun des triangles OMT, ONM étant semblable au triangle infînitésimal mMM', qui a pour côtés ds, dvj rdp^ on a les proportions

ds : dr\ rdp r= T : r: S< = N : S„ : r,

d'où l'on tire

r^dp r* ^ I

St — — -^ ru - := rtangô zr= ji

dr r ° M

dr u'

S„= -=- =: r' =z r cot9 = -j

dp u^

rds r

ds

N= ^- = y/r«-i-r" = v''>-t-Si|.

On peut se poser, relativement à ces lignes, les mêmes problèmes que pour les lignes analogues du système des coordonnées rectangulaires [510]. Si Ton cherche, par exemple, la courbe pour laquelle la tangente est constante, T = a, on trouve qu'elle est représentée par les deux équations

r = a ces/ , p = tangr — r,

si Ton détermine la constante arbitraire de manière que p s'annule en même temps que t.

519. Le lieu des extrémités T de la sous-tangente est donné par les équations

celui des extrémités N de la sous-normale, par les équations

Rr^S;,, p=^-+..

La perpendiculaire g, abaissée de Torigine sur la tangente, a pour expression

g=z rsinô

r^dp

~dr

La perpendiculaire abaissée de Torigine sur la normale, laquelle est égale à la distance entre le point de contact et la projection de Torigine sur la tangente, a pour valeur

rdr

h = rcos6 =

ds