COS

|(r — /)sin2y

V^r* cos* ^ H- /* siii* y On a d'ailleurs [H79], à cause de /; = r/ = o et de .ç = o,

Donc

d'h -=COSÔ£/(M :=r </^sin2«.

Celle formule fait voir que non-seulement d'i^ change de signe,

comme nous l'avons déjà vu, lorsqu'on fait croître 9 de-> mais

encore qu'il reprend la même valeur absolue, ds étant supposé le même dans les deux cas. Donc, si l'on mène, tout le long d'un cercle infiniment petit, de centre M, tracé sur la surface, toutes les normales à cette surface, les déviations des normales correspondantes à deux sections rectangulaires entre elles seront égales et de signes contraires.

707. Cela posé, considérons trois surfaces S|, S2, S3, se coupant orthogonalement au point O. La normale à chacune d'elles sera tangente à l'intersection des deux autres. Soient OT,, OT2, OTj les trois tangentes à ces intersections. Prenons sur leurs directions trois longueurs infiniment petites égales entre elles,

Au point T2 de l'intersection de S3 et de S|, menons les normales T2NJ, T2N'j à ces deux surfaces, et soient («3, ^a, yj), (a'j, P', , 7',)

l88 LIVAE III. — CHAP. II, § VI.

[fig' 70) les cosinus des angles que ces normales font avec les axes OTo OT2, OTs- L'angle de T2 N3 avec 0T| est, au signe près, le complément de Tangle d^z, que fait la normale TgNs avec le plan de la section normale TaOTj faite dans la surface S3. On adonc =hd'^j^3 = cos(Na, T| ) = «3. De même, la déviation de la normale N'j à la surface S| par rapport au plan de la section T4 0T2 sera ± d^\ = cos (N'j , T3 ) = /j .

Il s'ensuit de là que les deux cosinus ol^ et y\ seront infiniment petits du premier ordre. 11 en sera de même de (33 == cos(N3, T2)

Fig. 70.

etde/s; = cos(N;, Ta). Enfin, les angles (N3, T3), (N',, T^ ) étani infiniment petits, on a, aux quantités près du second ordre,

Si Ton suppose maintenant que les surfaces S3 et S^ se coupent orthogonalement tout le long de leur intersection OT2, les normales T2N3 et Ï2IN', satisferont rigoureusement à la condition de perpendicularité

qui devient, d'après ce qui précède, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

En supposant que la même orthogonalité ait lieu le long des autres intersections OT3, 0T<, on trouvera, en permutant circulairement les lettres et les indices, les deux autres relations

o» Vî-^ft^^o*

TUÉORÈIIE DE DUPIN. 189

Or N', el N| sont deux normales à S|, correspondantes à deux sections rectangulaires entre elles. Donc les d^ correspondants sont égaux en valeur absolue. De plus, si N'^ est en arrière, par exemple, du plan Tt OT2, N| sera en avant du plan T< OT3 ; de sorte que les deux angles {N\j T3), (N|, T2) seront tous les deux obtus ou tous les deux aigus. Donc les cosinus 7',, ^2 de ces angles sont égaux et de même signe. On a donc

v'i =Pu et de même a ^ = 7,, JS3 — «3.

En éliminant y'f , a'^» P'3 ^^^^^ ces équations et les précédentes, il vient

«s-^Pi^o, Pi-+-7i==o, 7j-f-a3 = o,

d'où l'on tire

aa = |S| =r 7, z-o, et par suite «^ = p, r= y\ =1 o.

Donc tous les d^ sont nuls; par conséquent, les trois sections Oï|, OT2, OT3 sont des sections principales sur les surfaces qu'elles rencontrent.

|0n en conclut immédiatement ce théorème :

Si trois familles de surfaces se coupent orthogonalenient tout le long de leurs intersections mutuelles, ces intersections seront des lignes de courbure pour chacune des surfaces,

708. Exemple, — Soient les trois surfaces homofocales du second degré

,.î vî -î

'. "« i tT ~ Aï ..ï ^i 2 * '

où l'on suppose A- > c- > |ut- ^ i- ^ v^. Si l'on considère deux de ces surfaces, les deux premières par exemple, les cosinus des angles que font leurs plans tangents avec les pians coordonnés

igo LtVRB III. — GHAP. II, § VI.

sont respectivement proportionnels à

It i,t ' ) « ,.. '

et à

^* ^* — b* c* — yi*

Or, si Ton retranche la première équation de la deuxième, il vient

et, X étant supposé différent de /z, la quantité entre parenthèses devra s'évanouir en chaque point de l'intersection de ces deux surfaces. Mais Téquation obtenue est précisément la condition de perpendicularité des deux plans tangents. Donc les deux surfaces sont orthogonales tout le long de leur intersection mutuelle. Il en est de même de chacune de ces deux surfaces , considérées avec la troisième.

Il en résulte, en vertu du théorème que nous venons de démontrer, que chacune de ces surfaces trace des lignes de courbure sur les deux autres, par rapport à celles-ci et par rapport à ellemême.

Ainsi, pour chaque système de valeurs de [l et de v, les surfaces (H|) et (Ha) tracent sur (E) deux lignes de courbure orthogonales entre elles. Si Ton fait varier fx, on aura toutes les lignes de courbure de Tun des systèmes; si Ton fait varier v, on aura toutes celles de l'autre système.

Il s'ensuit de là que, si l'on donne une surface du second degré à centre, un ellipsoïde par exemple, représenté par l'équation

où A* ^ B* > C^, on identifiera son équation avec l'équation (E), en posant

et alors les équations des deux systèmes de lignes de courbure de l'ellipsoïde s'obtiendront en combinant son équation avec l'une ou

MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES. igi

Tautre des équations

(/} et V* étant deux constantes arbitraires, telles que Ton ait