SECTIONS PRINCIPALES POUR UN OMBILIC
OU, en faisant j^= o [686, II],
xy{Aby^-hBa)=z o,
c'est-à-dire, en mettant pour A, B leurs valeurs,
abary[(a- c)/*-h (6 — c)]r=o,
équation qui n^admet d'autre solution réelle quej^=: o. Donc la ligne de courbure unique se confond avec la section principale ; ou plutôt l'une des lignes de courbure devient la partie de la section principale de la surface comprise entre les deux ombilics O, O' situés au-dessus du plan des xy, ou entre les deux ombilics Oj , O', situés au-dessous ; tandis que l'autre ligne de courbure se confond avec la partie OOi ou O'O', . La première est la limite des lignes de courbure qui, dans l'ellipsoïde, se projettent suivant des ellipses ; la seconde est la limite des lignes de l'autre système, à projections hyperboliques [708].
705. Tliéorème de Dupin. — Reprenons le calcul qui nous a donné [678] l'angle de déviation d^ de la normale. Les cosinus — ?
y-j — se rapportent à la direction qui va du point M {x, j, z) au point W{x-\- dx, Y "^ ^> z-^ dz). Le signe de la quantité
a été déterminé de manière que les cosinus
se rapportent à celle des deux directions de la normale qui s'étend d'un certain côté de la surface, choisi une fois pour toutes. Dès lors les différentielles ^a, ef(3, dy auront des signes déterminés, et il en sera de même de l'expression
cosô =
d(ùds
« ? 7 dtjL dp dy
dx dy dz
L'angle 6 sera celui que fait la direction MM' de la tangente à la
l86 LIVRE m. — GHAP. Il, § VI.
section normale considérée avec la direction de la tangente conjuguée MM", cet angle étant compté positivement dans un sens déterminé, par exemple dans le sens correspondant à une rotation de la droite vers la gauche d*un observateur ayant la tête placée du côté de la surface vers lequel on prolonge la normale.
Si Ton fait maintenant tourner d^une manière continue le demidiamètre MM' de rindicatrice, dans le sens direct, par exemple, en allant de Taxe des a: vers Taxe desj^', le demi-diamètre conjugué MM'^ tournera également d'une manière continue, dans le même sens MM' ou en sens contraire, selon que l'indicatrice sera elliptique ou hyperbolique. De plus, il est aisé de voir, dans les deux cas, que, lorsque MM' parcourt successivement les quatre quadrants déterminés parles axes principaux, l'angle devient alternativement aigu et obtus, et change d'espèce en passant d'un quadrant à l'autre. Ainsi ô sera droit quand l'angle cj^ de MM' avec l'une des sections principales
aura pour valeurs o, -» tt, — \ il sera aigu (ou obtus) pour cp com-
pris dans le premier ou dans le troisième quadrant, obtus (ou aigu) pour f compris dans le deuxième ou le quatrième quadrant.
Lorsque cos9 est positif, la normale M' K' [676] se projette sur le plan tangent en av^ant de MM'; lorsque cos0 est négatif, elle se projette en arrière de MM' (*). Donc le changement de signe de
"■^^Is
a (3 7 dot, dp dy dx dy dz
indiquera un changement de position relative de la normale M'N' par rapport au plan de la section NMM'.
706. Si l'on rapporte la surface au plan tangent et au plan des deux sections principales, pris pour plans coordonnés, l'équation
(') En effet, MM" est parallèle [675] à rintersection BB' i^fig. 67, n» 676) des plans P, P' tangents en M et en M'. Si l'on suppose d'abord le plan P' appliqué sur le plan P, puis qu'on ramène P' à sa première position, en le faisant tourner autour do BB', la projection d'un point N' de M'N' se déplacera alors suivant M'B', et, par conséquent, passera au dedans ou au dehors de l'angle M'AB' ou M' M M', suivant que cet angle sera aîgu ou obtus.
