MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES

Donc la mesure de la courbure ne dépend que des fonctions E, F, G, qui ne changent pas quand on déforme la surface par simple flexion, sans extension ni contraction des lignes tracées sur cette surface. Donc la mesure de la courbure n'est pas altérée par une telle déformation de la surface.

719. Nous allons maintenant donner une interprétation géométrique des quantités E, F, G, au moyen desquelles nous avons exprimé Télément linéaire et la mesure de la courbure.

Supposons que Tune des variables u et v, i^ par exemple, reste constante, u variant seule. Si Ton élimine u entre les trois équations qui donnent x,^, z en ii et ^, il restera deux équations entre ^yj'y ^ 6^ 1^ constante Uy qui représenteront une courbe, que nous désignerons par i^ = {3, ^ étant la valeur constante attribuée à v. De même, u = const. =: a sera Téquation d'une autre courbe, tracée aussi sur la surface.

En donnant à v différentes valeurs constantes ^ == i^, </,, f/3, . . . , on a une série de courbes, que nous désignerons par [^), (v<), {vti)j • - • • De même, en donnant à u les valeurs constantes i/, i/|, 142, . . . , on aura une série d'autres courbes (u), (ui ), (1x2), . . . .

Fig. 71.

Pour une courbe (j^), on a rfv' = o, et par suite l'élément linéaire MMj {Jig> 71) se réduit à

Pareillement, pour une courbe (u), du = o, et l'élément linéaire sur cette courbe se réduit à

20a LIVRB III. — GHAP. II, § VII.

Soit maintenant MM' la diagonale du parallélogramme infinitésimaly compris entre deux lignes (u) infiniment voisines et deux lignes (^) infiniment voisines, et soit o) Fangle M1MM2 de ce parallélogramme. Nous aurons

MM'* = MM; + MM|| 4-2MMi.MM,.cos<», c'est-à-dire

ds* = "Edu* -f- 2Fdudv -h Gdv* r^ Edu* -+• Qdv* -h i^EG.iiudvcos«i, d'où l'on tire

cos&>