COORDONNÉES CURVILIGNES ORTHOGONALES
La mesure de la courbure est donnée par Téquation
ao3
E«G*.itz=
io^E -D„G 2 a
-DÎG
c'est-à-dire
dEdGl di' dw J
dEdG
du
La valeur générale de Télément superficiel MM i M'M2 = dS est (4) dS=^ d^^sd^s sinw :=^ du dv ^EG — F*,
expression qui se réduit, dans le cas de Torthogonalité, à
dS = dudv<ijEQ.
721 . Les lignes de courbure d'une surface formant deux systèmes de lignes orthogonaux entre eux, on pourra prendre ces systèmes pour ceux des lignes u =. const., i/=const., et leur appliquer les formules simplifiées du numéro précédent.
Exemple. — Soit une surface du second degré, un ellipsoïde, représenté par Téquation
Nous avons vu [708] que les lignes de courbure de cette surface sont déterminées par ses intersections avec les deux hyperbo-
loïdes homofocaux
de sorte qu*elles peuvent être représentées par les deux systèmes d'équations u = const., i/ == const.
Pour exprimer x, y, z au moyen des variables m, */, il faut résoudre les équations (i) et (a) par rapport à x^, j^, z^. Or le déterminant
tt*
tt* c*
devient, en retranchant la première ligne verticale de chacune des deux autres,
«^ — b^ tt« — c*
Ai étant précisément le numérateur de la valeur de x^. Donc
On trouverait de même
U est aisé de vérifier, au moyen de ces expressions, que l'intersection de deux quelconques de ces surfaces est une ligne de courbure de chacune d'elles. Considérons, par exemple, l'intersection de l'ellipsoïde avec l'hyperboloïde à une nappe u = const. On aura,
APPLICATION A l'eLLIPSOÏDE. 2o5
i^ étant seul variable,
vdv
6 V^ — b^.dy = — v^X» — b^ ^u^ — b^ .
v/c* — b*,dz = — VV — c» V'
Or Téquation aux lignes de courbure de Tellipsoïde est [689]
dx djr dz
son premier membre devient, en y substituant les valeurs précédentes de X, y y Zj dx,- dy, dz,
Donc M = const. est une ligne de courbure de Tellipsoïde >. = const. ; et de même pour les autres intersections.
Cherchons maintenant la mesure de la courbure de l'ellipsoïde en un point quelconque. L'équation aux rayons de courbure principaux [683, (aS)] donne [712], pour l'expression générale de cette mesure,
Or on a, pour l'ellipsoïde ( i).
d'où
zr
zs
zt
On en tire, en réduisant au moyen de Téquation (i),
z^rt — s* ) >.' — c»
D'ailleurs,
$ étant la distance du centre au plan tangent en (x, y^ z). Dodc enfin
On voit par cette formule que la mesure de la courbure est constante en même temps que la distance S. Elle est donc constante le long d'une même polodie ( * ).
On a maintenant \ y^X*-* — b'^ ^X^ — c^ = d^ y^R, R^, de sorte que le volume de l'ellipsoïde peut être exprimé par-Ti^*-" ^R,R2.
