ETUDE DE L HELICE
puis
:' 3 ) dj:= — / ^', djr =i xdt^ dz=: bdi,
d'où Ton conclut
eùr~~ X
ce qui exprime que la projection de la tangente sur le plan des xy est perpendiculaire au rayon de la base du cylindre. En faisant
on a (2)
ds* = {x* -h X» 4- *») dt^ = c*dt^ = Ij dz\
d^oii
dz , b
ds c
La tangente à Thélice fait donc un angle constant avec le plan des xy,
723. On a, d'après cela, pour la longueur de l'arc de la courbe,
^-~.Vo= T (s — 20) = (3 — Zo)séc^,
étant l'angle constant de la tangente avec l'axe des z. Les cosinus des angles de la tangente avec les axes sont
djT r dy X ilz b
' ds c ds c ds c
Les équations de la tangente étant
on aura, pour l'équation du plan normal, en effaçant les termes qui se détruisent,
(7) — jÇ-hXïj H-fc(Ç — «) = 0,
2o8 LIVRE III. — CHAP. II, § VIII.
et, pour réquation générale du plan tangent [629],
En écrivant que ce même plan est également tangent au point de la courbe infiniment voisin {x -h dx, y -{- dj-, z -^ dz) ^ il vient [634]
- ^ 4- Ç (^ - z) ~ ^ ./3 + :X T- dj- ^ (ç - 3) -f- 1 dzl = 0,
ou, a cause
de dx = — - dz, dy = - dzy
ou enfin, en supprimant la solution étrangère ^ — s = o,
Eliminant X entre cette équation et Téquation (8), on a, pour réquation du plan osculateur,
(9) - jÇ-f- xiî — y (? - ;;) = o.
En combinant les équations (7) et (9) du plan normal et du plan osculateur, on a les équations de la normale principale
.r jr
qui représentent le rayon du cylindre mené par le point {xyy, z). Autrement, les formules du n** 657, combinées avec les valeurs (5), donnent
dx cos)i = dt^ dx cos/x =r — — dt^ dx cosv = o,
d'où
an jr ^ j ^ j
C0SA = 9 COSiX nr > COSV = 0, v-zz: — > dx ^=^ — dt^
ce qui conduit aux équations (lo) de la normale principale. De
ÉTUDE DE l'hélice.
plus, on a
fh r* ^ ck a
Donc le rayon de courbure de Thélice est constant.
Le centre de courbure est l'intersection de la normale principale (lo) avec le plan normal au point infiniment voisin
[.r H- flxy X + (if, z -h dz]^
ou, si Ton veut, Tintersection du plan osculateur (9) avec deux plans normaux infiniment voisins, ou avec leur intersection, qui est Taxe de courbure. La différentielle de l'équation (^) est, en vertu de (3),
(12) — .rÇ — J13 — A*==: o.
En la combinant avec (7), on a les équations de l'axe de courbure
(i3) ^ ^ ^':^ir-'
Ces équations, jointes à l'équation (g), donnent les coordonnées du centre de courbure. Il revient au même de combiner les équations (10) et (12), ce qui donne
X y x' -t- y^ or
Les coordonnées du centre de courbure sont donc
(i4) Ç = cos^ fi=z sin/, Ç = ^/,
et l'on voit par là que le lieu des centres de courbure est une hélice de même pas que la proposée, et que l'on obtient en prolongeant chaque normale principale au delà de l'axe, de la quan-
tué — • a
La distance de deux centres de courbure consécutifs, ou l'élé-
H. — Cours de Cale, in fin,, II. l4
ment d'arc de cette hélice (i4) est donc
(i5) (hz= -^ dt.
Pour avoir l'équation de la surface polaire, lieu des axes de courbure (i3), on n'aura qu'à éliminer t entre les équations de cet axe; ou bien, en désignant par u la valeur commune des trois rapports (i3), on aura les coordonnées de cette surface, exprimées (643) au moyen des deux variables indépendantes t, u,
[16) ^~ '[jC-^Ujr], r,-z (jr^-ux), l^ = z-hbu.
or ^ ' ' a* * •
724. Les cosinus des angles du plan osculateur avec les plans
coordonnés étant ^5 — j > on en tire, pour l'angrle de
ac ac c * "
torsion [660],
d'où le rayon de torsion
ds r*
ce rayon est donc constant, comme le rayon de courbure.
Le centre de la sphère osculatrice s'obtiendra en combinant les équations de trois plans normaux infiniment voisins, savoir les équations (7), (12) et
Ces trois équations donnent pour ^, y;, ^ les valeurs (i4)* Donc le centre de la sphère osculatrice coïncide, dans l'hélice, avec le centre de courbure.
Le lieu des centres de la sphère osculatrice est donc identique avec le lieu (i4) des centres de courbure. Cela résulte immédiatement de l'équation (5) [663],
^ = \Ji
do'
qui se réduit à R = p, toutes les fois que p est constant ; alors la dis-
ÉTUDE DE L*I1ÉLIGE. 211
tance -p du centre de courbure au centre de la sphère osculatrice a\j *
est nulle.
La tangente au lieu des centres de la sphère osculatrice n'est autre chose que l'axe de courbure (i3) de Thélice proposée, comme il est aisé de le vérifier. Donc le lieu de ces tangentes, qui coïncide avec la surface polaire (16), est le lieu des tangentes à une hélice (i4) • c'est donc un liélicoïde dé^eloppable.
72S. Nous aurons les équations générales des développées de l'hélice, en combinant les équations (16) de la surface polaire avec une des équations [667]
qui expriment que la tangente à la développée rencontre la courbe proposée. En prenant la première de ces équations — - — = ' ^ ?
et faisant, pour abréger, — = 6, il vient (16)
di =: 6[[jr 4- ux) dt -{-y du"]^ din = — 6[[x — uy) dt -h x du] ,
d'où
— (r -4- 6)jr 4- Swr — (i-f-6l r — ^ux
(jr 4- ux) dt -^ X du — (x — uy] dt — x du
__ (i.4-e)(x«4-r') __ g(x'+7')i/ "" [x^ -{-X'^)udt '^ [x^-^y^][dt-hduY OU enfin
u dt dt -h du
On tire de là
dt=z — — 9 dou u^— -r- tons- It -{'C),
«>* . oc- '
C étant une constante arbitraire. Cette équation, jointe aux équations (16), détermine les développées de l'hélice.
726. liélicoïde dé^eloppable, — Cette surface est le lieu des
tangentes à rhélîce, représentée [722] par les équations
X = «cos/, Y=zasint, Z=ht,
Les équations de la tangente seront
r- JÇ y — Y __ z — Z
Tr-i-Xr
Tirant de là x^y^ z en fonction des variables t et m, et conservant, pour abréger, X, Y, Z pour représenter les expressions (i), on aura les équations
(3) ^nrX — Y«, j=Y-4-X£/, z — Z-\-hu = h[t-^u],
qui donneront les coordonnées de Thélicoïde en fonction des deux variables indépendantes.
On tire des équations (3)
(4) dx:=z—ydt^Yfluy dy = .rdt -{-Xduy dz=z bdt -\- bdu.
Soit maintenant A ( \ — x)-\- B(yî — j) -h C((' — s) = o l'équation d'un plan mené par le point {x^y, z). Pour qu'il passe en un point de la surface [x ■+- dx, y H- djj z -\- dz) infiniment voisin de {Xjy, z), il faut que l'on ait
Adx -4- Bdy -h Cdz = o, c'est-à-dire (4)
(- Aj -f- Bj: -h Cb) de 4- (— AY+ BX -+- C^) du = o.
Pour que cela ait lieu tout autour du point [Xf^, z), on devra avoir [643] les conditions
— A^ -4- Bx -f- C^ = o, — AY -t- BX -i- C6 = o,
d'où l'on lire
= — bXu'.blLu: — d^u.
On aura donc, pour l'équation du plan tangent, en remarquant que l'on a (2) b{Yx — Xj^) = — a^bu, et a^[z — bu) =a^Z,
(5) -^YÇ-i-^Xiî — «*{j:-z) = o,
HÉLICOÏDE DÉVELOPPABLE. ai3
ce qui n'est autre chose que l'équation du plan osculateur à Thélice(.)[723,(9)].
Les équations de la normale sont, d'après cela.
bX bX —a'
bY
hyi
> ac
ac
> ac
Le coefficient angulaire de la projection de la normale sur le
plan des xj étant — — » cette projection est perpendiculaire à
celle du raypn du cylindre qui passe par le point de contact de la génératrice sur laquelle est situé le pied de la normale. Les cosinus des angles de la normale avec les axes étant
on voit que la normale fait un angle constant avec l'axe des z, ainsi qu'avec le plan des xj.
L'équation (5) ne dépendant pas de u, on voit que le plan tangent reste le même tant que t reste constant, c'est-à-dire tout le long d'une même génératrice.
727. L'équation des lignes de niveau z == G ou rfz r:= o devient ici
(8) r-4-tt = C, ou dt-hdu=o.
En éliminant une des variables £ ou u entre les équations (3) et (8), les équations obtenues représentent une développante du cercle de base, comme on aurait pu le voir a priori par des considérations géométriques.
Si a, |3, o sont les cosinus des angles que fait la tangente à la ligne de niveau avec les axes, et x, j , z les coordonnées d'un point d'une ligne de plus grande pente, la condition de perpendicularité des tangentes aux deuxlignes donne a dx -h ^dy = o, équation différentielle des lignes de plus grande pente. Ici, en faisant duz=z — dty on voit que a et ^ sont proportionnels à — (y — Y)dt, [x — lL)dt, c'est-à-dire à — ILudif — Yudt. On a donc, pour l'équation différentielle des lignes de plus grande pente,
— ILudx — Yudy z=: o,
'Jtl4 LIVRE III. -— CIIAP. II, § Vin.
ou, en mettant pour dx, dj leurs valeurs (4)> et réduisant,
d'où Ton tire dt=o, t = const. Donc les lignes de plus grande pente sont les génératrices rectilignes de Thélicoïde.
La solution u = o serait une solution singulière, qui donnerait (i), j:r=X,j^ = Y, z==Z; cette solution correspondrait donc à rhélice directrice, lieu des intersections successives des lignes de plus grande pente.
728. L'angle de deux, normales infiniment voisines est, d'après les valeurs (7),
(q) ^« =: - - Jdi^FTdY^ = - dt.
Pour avoir Tintersection de deux plans tangents infiniment voisins, on joindra à Téquation (5) sa difi'érentielle par rapport aux coordonnées de la surface, savoir
et l'on tire de ces deux équations '
Ç — X ^— Y __ Çj-Z — Y "" ~xr~ ~" b
Les cosinus relatifs à la direction de cette droite sont 5 — » -•
Les cosinus relatifs à la direction de l'élément ds sont -r-j -:-j — ?
as as as
où l'on a
r/jrzz ^a*u*dt*-hc*{du 4-rf/)'.
On a donc, pour l'angle 9 des tangentes conjuguées, dont Tune est tangente à ds,
^ ^Ydx-hXdr-h bdz (Yr-HX:r-hè*)^/-+-(Y*-»-X«-l-6«)//tf
