COS

cas cas

c'est-à-dire

c[dt-hdu) ,, , . . audt

cosBz= -^ ', d'où smô=: — -— .

ds ds

UELICOIDE DEVBLOPPABLE. 2l5

On en conclut

, . . ahud^ I ahudi^

dx ^^ «û> sin = i — î - = — — •

cas p cds^

L'équation aux sections principales ou aux lignes de courbure est donnée par la condition cos6 = o, d'où Ton tire dt-h du=z o, équation qui coïncide avec celle que nous avons déjà trouvée pour les lignes de niveau. Donc les lignes de niveau forment l'un des systèmes de ligne de courbure. L'autre système, qui n'est pas donné par l'équation cos^ = o, et qui, la surface étant développable, correspond à une valeur infinie du rayon de courbure, sera formé par les trajectoires orthogonales des lignes du premier système, c'est-à-dire par les lignes de plus grande pente, qui sont les génératrices rectilignes.

729. Autrement, si l'on veut appliquer les formules générales du n**681, — = - = - = — R, il vient, d'après les valeurs (7),

acdx acdy dz

^ bd\ ~ bdyi ~ô" ~~ '

d'où l'on tire

o = cU[[\x 4- ^y)dt -h (X*-+- Y»)rfa] = a}dt{dt 4- du],

d'où l'on tire les deux solutions

dx dt = o, équation d'une génératrice, d'où R = — = ^o ,

di -r- du = o, ou dz= o, équation d'une ligne de niveau,

d'où l'on conclut

Tj __ ^^{t — Y) dt acu

^ ~ b\dt ~ T'

valeur du rayon minimum de courbure.

Les coordonnées du centre de courbure correspondant à ce rayon R seront, en vertu des valeurs (7),

bY b\ à^ c'

ac ac ac b

On en conclut Ç*-|- yî*=- a^. Donc la surface lieu des centres de courbure principaux est le cylindre sur lequel est tracée l'hélice.

ai6 LIVftB m. — CHAP. II, § VIII.

730. Hélicoïde gauche. — On appelle ainsi le lieu des normales principales de rhélice

(i) X = «cos/, Y =:^ aûnty Z=zbi,

Les équalions de cette normale principale étant [723, (lo)]

on aura, pour les expressions des coordonnées de la surface au moyen des variables indépendantes ty u,

(2) JrrrrXtf, J=zYu^ Zz=zZ.

On tire de là

( 3 ) dx :=: — jrdt -i-X du, d/ = xdt -h Y du, dz --^b dt.

Si Ton représente par A(^ — x) 4- B(x — j) 4- C(^ — z) = o Téquation du plan tangent, on trouvera, par un raisonnement semblable à celui du n° 726,

A:B:C -. — bY:b\: - a* u, de sorte que, si Ton fait, pour abréger,

les cosinus des angles de la normale avec les axes seront

hY b\ a^u

731. Pour z == const. ou dz = 0, on a t =const., équation d'une génératrice. Donc les lignes de niveau de la surface sont les génératrices rectilignes.

On a, le long d'une génératrice, dont les équations sont les équations ( 2) pour t = const.,

dx i-.z \du^ dy ==. Y du, dz 1- o.

On a donc, pour Téquation des trajectoires orthogonales des lignes de niveau, c'est-à-dire pour l'équation différentielle des