I. Considérons Tellipse, représentée par les équations
xz=za cosf, j = ^ sîn /.
On en tire, en posant a- — b' = a^e^,
ds^ =r <!«<//*( I — e* cos'<).
En posant donc ç = 1, on a, pour Tare compté à partir du
sommet du petit axe,
s :=: a I dtf^i — e' sin' y.
Jo
L'arc est donc exprimé par une intégrale elliptique de seconde espèce [455].
Théorème de Fagnano. — Si Ton désigne, comme au n® 519, par g la perpendiculaire abaissée de Torigine des coordonnées sur la tangente, et par h la projection du rayon vecteur sur la tangente, comptée positivement ou négativement suivant que l'angle est aigu ou obtus, on a
^=:rsin9, ^=rcos9,
d'où
dh=-' gd9 -h cos$ dr.
BBCTIFICATION DES COURBES.
On a maintenant
Donc
dr rdp
{Ir=zd6-\- dp, cosB =: -,- y sinQ = —^ * ds ds
r*dp'-\'dr*
dh -h g dr - = ffdp -+- cosQdr =: — ^-— = ds^
*^ ^ ds
formule qu'il est facile de démontrer géométriquement.
Si Ton désigne par u Tangle de la perpendiculaire g avec Taxe des X, on a
d'où Ton tire
ds =idh -\- gd\j^ ^ = xcosv -h jsinu, h z=i — or sinv -h^cosu.
Si nous considérons maintenant Tellipse, la relation
dx cosu -h djr sinv = o
donne, en mettant pour dx^ dj les valeurs — a sintdty b costdt,
CCS
6 ces
V sinu /co8*u sin*'.
5^ asmt y 6* a*
M ^i — e* sin'u
d'où l'on tire
a cosv
^ i — e* siii*u
— sinw a
gzzsza sj\ — c* sin*u , // =^
Fig. 75,
^1 — é^ sin* u aé^ sinu cosu
^i — e* sin*u
L'équation (i) doni^e donc, pour l'arc AM {fig> 75), compté à
a36 LIVRE III. — CHAP. III, § I.
partir du sommet A, qui correspond à t = o, v =^ o et /i s?, o.
z=: k-^- a j d^jsj i — e* sin'u.
En appelant 5^ Tare compté à partir du sommet B, on a, diaprés ce que nous avons vu,
;' =z: a I df^i — r;* sin*y<
Si donc on prend (f = j, on aura s= s^-]- hy c'est-à-dire
AM — BM' — MT.
On a donc ainsi deux arcs d'ellipse, dont la différence est égale à une ligne droite facile à construire. Il vient, à cause de (j> = u,
e'^ a cosi» , r* ,
— n ::==. — — • a siny = — • xx ,
" ^1 — t' * siii" u ^
x et a/ étant les abscisses OP, OP' des points M et M'.
