partie fermée de la courbe, en prenant l'intégrale depuis t = x

3i,t jusqu'à i = o, ce qui donne pour la valeur de cette aire.

On parviendra au même résultat en rapportant la courbe à des coordonnées polaires, ce qui donne

3 a cos/7 sin^ ces'/? -h siirp

d'où

2J 2 J (i-f- tang*/?)* a i-h tang'/?

En intégrant entre les limites /> = o et p=: - ? on a X = - a^. IV. Dans la spirale d'Archimède, r = ap, on a

En faisant po =o, P = 37:, on a, pour Taire de la première circonvolution,

c'est le tiers de l'aire du cercle de rayon ^iza. Pour avoir l'aire entourée par la seconde spire, on fera p© = ^tt, P= 47r, d'où

En général, l'aire terminée par la /z**"* spire et par une portion de l'axe des x a pour expression

= I 7r»û« [/l»- (/i — i)»]= I 7r»fl« (3/1»— 3/1 -h l).

L'aire comprise entre la /i**"* spire et la (/z — jy*»» est

On trouve ainsi Xj — X, = Sîr'a^.

745. -^/re comprise entre une courbe et sa développée. — En considérant l'aire comprise entre la développée et deux rayons de courbure infiniment voisins, ou voit aisément que cette aire a pour

expression rA= -p^éfr. La somme de ces aires élémentaires ou

l'aire comprise entre la courbe, la développée et les deux rayons

a34 LIVRE III. — CBAP. III, § I.

de courbure extrêmes sera donc

Exemple, — Pour la cycloïde ordinaire, on a

û = 4^sin-r, rfj r:= 2a<f^sin - r

d'où

\—-- f^ds- z f^à^[\ — co^t]dt^izià^[t — sinf) =: 7,ax,

746. Rectification des courbes. — Nous avons déjà vu [540] des exemples de rectification des courbes planes. Traitons encore ici quelques cas.