CUBATURB DES SURFACES QUELCONQUES

à celles que nous avons indiquées [ 741 ] pour les cas semblables dans la quadrature des courbes planes.

Si le volume est terminé par une surface fermée, on commencera par déterminer le contour apparent Ae cette surface sur le plan des xjy en circonscrivant à la surface un cylindre parallèle à l'axe des z. Pour cela, si l'on représente par F(a:,^, z) = o l'équation de la surface, on exprimera que le plan tangent en un point est pa-

dF rallèle à l'axe des Zy en posant [646] — == o, et l'élimination de z

entre cette équation et celle de la surface donnera l'équation du cylindre circonscrit à la surface et parallèle à l'axe des Zj et en même temps l'équation du contour apparent, base de ce cylindre. La courbe de contact de ce cylindre partagera la surface en deux portions : soient -5 et Z les ordonnées de ces deux portions pour un même système de valeurs de ar et de ^. On obtiendra le volume renfermé dans la surface en prenant la différence des volumes

ffzdxdjr, JJZdxdy,

compris entre chacune de ces portions de surface et le plan desxj',

de sorte qu'on aura

y=SJ[Z-z)dxdy,

les limites des deux intégrations devant être déterminées conformément à ce que nous avons dît.

750. Exemples. — I. Cherchons le volume compris entre la surface

les trois plans coordonnés, et deux plans quelconques parallèles l'un au plan des zxy l'autre au plan des zj\ On a, en intégrant d'abord par rapport à x,

zdx = h b.vy" ;

puis, en intégrant par rapport d j,

\=z.rj( 1 ^— )

SI l'on avait m= n, on trouverait, pour le volume de la surface

Ces résultats supposent m4- 1 etn-hi positifs. Si ces nombres étaient négatifs , on discuterait les divers cas qui pourraient se présenter, comme on Ta fait pour une question analogue au n^ 744.