II. On demande le volume de Tellipsoïde
11 faut calculer, pour cela, Tintégralc double
V = cffdxdx^i-~-Ç
Le contour apparent de la surface sur le plan des xy n'étant autre que la section principale ~ -î- jî = i > cette dernière relation indiquera quelles devront être les limites de l'intégration. Si nous intégrons d'abord par rapport à j^, posons
d'où
■l = sinf}^i-^
(ly ■=. b cos^df i/ I — - -»
€t par suite
En intégrant dej^ = o k y=^bK/ i — -^? ou de <{» = o à © = ^»
puis quadruplant le résultat, on aura Taire de la section de Tellipsoïde, parallèle au plan des zXy savoir
Multipliant maintenant par dx, intégrant de o à a, puis doublant
GVBATURE DES SURFACES QUELCONQUES. a47
le résultat 9 on aura enfin , pour le volume cherché,
V=: ^izabc.
III. Calculer le volume compris entre le plan des xy, le paraboloïde hyperbolique xj^= az^ et le cylindre
On cherchera d'abord l'intégrale - Jxjdy = — xy^j prise entre
les limites j^, = c — y^k- — (x — a)* et j 2 == 6 -H \/A^ — [x — a)», ce qui donnera
Eln Intégrant maintenant par rapport à a:, et posant x — a = Ar sin f , Il vient
- — elxyjk^ — [x — «j* n= f[oL 4- k sîn^) COS*^€f^
= (f -l-sm»cos9 ;; — co8'«> 4- C.
Il faut maintenant prendre pour limites a: = a — A et x = a + A*, OU o = et cp = -h -» ce qui réduit l'expression précédente à
- et Ç = -h -
757. Calculons maintenant le volume limité par une surface rapportée à des coordonnées polaires, qui sont le rayon vecteur r, la longitude p et la latitude q. Décomposons, pour cela, le volume en éléments pyramidaux infiniment petits, compris entre deux méridiens de longitudes p eip-h dp, et deux parallèles de latitudes q et ç -h dif. Si l'on coupe la pyramide par une sphère de rayon /•, on pourra considérer la pyramide comme ayant pour hauteur r et pour base le quadrilatère sphérlque dont les dimensions sont, suivant le méridien, rdp, et suivant le parallèle (dont le rayon est r cos^ ), r cosqdq, La surface de cette base étant donc r^ cosqdpdq.
le volume de la pyramide sera ■= /•' cosqdpdi/, et par suite le volume total sera donné par Tintégrale
y=-^ffr^COSqdpdq,
prise entre des limites convenables, après qu^on y aura remplacé r par sa valeur en p, q^ déterminée par Téquation de la surface.
758. Quadrature des surfaces courbes. — Considérons la portion de surface courbe qui se projette suivant l'élément superficiel dxdjr du plan des xy. Les plans tangents menés par les divers points de cette portion de surface feront tous avec le plan desxy des angles qui dififèrent infiniment peu de celui qui a pour cosinus
— ? p et û désiciiant les dérivées partielles -r-> -r-» Si
donc on forme avec ces plans tangents un polyèdre infinitésimal quelconque, circonscrit à la portion de surface considérée, Taire
de ce polyèdre différera infiniment peu de dx dj" ^i H- p^ -h V*- Donc la somme de ces aires polyédriques infinitésimales, correspondante à une étendue finie de la surface courbe, aura une limite déterminée, exprimée par l'intégrale double
prise entre des limites convenables, que Ton déterminera comme on vient de le faire pour le problème des cubatures. Cette limite des surfaces polyédriques infinitésimales circonscrites est dite i'iuVe de la surface courbe.
789. Exemple. — I. Soit proposé de calculer Taire d'un demifuseau sphérique ABC [fg- 77), compris, sur la sphère
entre le plan des xjy celui des zx et un plan passant par l'axe des z et faisant avec le plan des zx l'angle Q. On aura à calculer l'intégrale double
adjcdy
y/fli — j:* — j-^
