I -f- /j (sin*ç 4- sin*x) 4- w' sin*y sin

On a d'ailleurs, par la formule d'addition des intégrales de première espèce [827, V],

(cosa-HsînysinxA(r)*=cos'f cos*x = i — (sin*y -f-sin'/) -h sin*^ sin*Xi

288 LITIB VI. — CUiP. IV, § IX.

d*où, en éllminanl sin-f -^ ^'"'X? ^^ posant, pour abréger.

siiiv siii/ = /,

iiD tire

n ^înT fit

dV =

I -r- « biii 7 — -2 /i c« «s y At . / -r- « « -h / - sill* c t'

On a, par conséquent,

n 5», #î -h II /. w ^^JdM -r consl.

Si l'on suppose maintenanl ç = o, il en résultera

II îr, « = O, yr r=r T, / == o.

Donc, en intégrant à partir de ç = o ou de / = o, la eonslante d'intégration sera égale à 17 a, /i -. Donc

Ii;5>, n -^-W

/, n — II 7, // = / </U,

ou

rsn M sn i*

1390. La nature de cette intégrale dépend de celle des racines du dénominateur de dV\ c'est-à-dire du signe de Texpression

n^ — siirrr .n' n -h T '/? -h /' . = — N sin'o-.

Le dénominateur de U sei'^ donc décomposable en facteurs réels ou en facteurs complexes suivant que N sera négatif ou positif, c'est-à-dire suivant que le paramétre n appartiendra à la première classe ou à la seconde.

Donc, si les intégrales n(s, /i), n(;^, n) sont de la première ("lasse, le second membre de la formule d'addition (3) s'exprimera sous forme réelle au moyen de la fonction ArgTh, ou, ce qui revient au même, au moyen des logarithmes. Si les intégrales sont de la seconde classe, le second membre s'exprimera par un arctanj^cnte. De là les noms de paramètre logarithmique ou de paramètre circulaire, attribués respectivement, dans ces deux cas, à la constante n.

On trouve, en eflectuant les calculs, pour la première classe,