I . ^, v'— N.sinysinysino

U— . ArgTh TA.

et pour la seconde classe,

nnt

— h sm'o- -h sm^smxcoso'Ao'

I i/N.sînwsinysino-

U = —r^ arc tang ta.

!in' .

— h sm'o- 4- sm^ sin;^ cosa Ag-

1391. Relation entre des intégrales de troisième espèce de

même amplitude et de paramètres différents. — Si l'on diffé-

rentie l'expression

sinocoso

fy ; . . •

[i-^ g sin* f ) If ce qui donnera

I — f-i -4- g'jsin*^) -+-(1 -+- 2g")/*sin*y — gk* s\n^(f df dtv "=. • — j

on en tirera, h étant, comme g, une constante indéterminée,

r"' '^^ r^ i— '^-f-g]sin*y-f-!i-h2^)X'sin*y — ^X'sin'y </y ^ Jq 1 + ^'"'' ./o (ih- ^sin*9>)*A'y -h/isin'ycos'f A^

Les deux termes de la fraction qui multiplie -^ 9 dans le second

membre, sont deux polynômes du troisième degré chacun par rapport à sin^cp. En remarquant que la fraction se réduirait à - pour

sin^cp = 00 , on en conclut que cette fraction peut se décomposer en fractions simples, sous la forme

(a) — I — .— - — I r~^~~i — I ; — it '~9~ '

^ ' g i-H /i sin'ç» I -H n sin*y 1 -h «"sin^^p

et l'équation (1) devient

(3) J^'t:^^— . = ^FW + An(y.«)-hA'n(^«')-hA''n(,.«').

H. — Cours de Calcul i/i/in,, IV. I ()

a^O LIVRR VI. -^ cil A p. IV, § IX.

Cette équation contient les huit constantes

liées entre elles par six. relations, savoir, les trois relations obtenues en identifiant le polynôme

(i -\- ^siii'f>)*A'f» -h h sin*y cos'y avec le produit

( I -4- /i sin' y ) { 1 -h «' sin' f> ) ( i -^ /i" sin* ^ ) ,

et les trois autres qui déterminent les coefficients A, A', A^. On peut donc se donner à volonté deux de ces constantes et déter> miner par leur moyen les six autres.

Supposons que Ton ait choisi d^avance les deux paramètres /i, n\ et que ces paramètres aient ou des valeurs réelles ou des valeurs complexes conjuguées, de sorte que leur somme et leur produit soient des quantités réelles. On trouvera alors, pour les autres constantes g, A, /i^, des valeurs réelles, par la résolution des équations

En ajoutant' ces équations après les avoir multipliées i^ par i, 1,1, a° par A* , Ar*, i , on en tire

(6) —AA» /•'•:.:. .> -h X-»)(«'-+-/-»)(/l"-+.Jt«).

Si Ton déduit de la dernière équation (4) 1^ valeur de

et qu'on la substitue dans (5), l'équation deviendra

(8) g^[nn' -f- X*(/i 4- /î'+ I V -h a^X'*/i/i' = /!/»'( /i/i'-f. « h- /i'-+- X*).

On voit aisément que les valeurs de g fournies par cette équation sont réelles quand n et n' sont deux quantités complexes conju-

guées. On trouve, en efiet, pour la quantité sous le radical dans l'expression de g,

k'^n''n'^-^nn'[nn'-\'n + /i'h- A»] [nn' -h A«(/i-f- «' + i)] = W (/i-H i) (/i' -h i) (/n- X-*) (/i' -h /'») = NN',

N et N' étant les nombres caractéristiques [1385] des deux paramètres 71, Ti', et ce produit est positif, si les deux nombres nrJ et

nn — ( I sont positiis.

Connaissant g, on aura /i^par Téquation (7) et A par Téquation

(9) /'=-;fî^(« + '«')(«' + *')(«'+'l')-

On a ensuite

d'où l'on déduit les valeurs de A' et de A'' par des permutations d'accents.

1392. Dans le cas où n et n' sont deux quantités complexes conjuguées, les valeurs de g, h, ri' étant réelles, on voit que l'équation (3) donne pour la somme

An(y, n) -hA'n(y, /?') une valeur réelle

"ïriï-îfW -*•"('■"")•

dans laquelle entre une intégrale de troisième espèce à paramètre réel. En substituant successivement, pour g^ /ï, /i". A, A', A'', les deux systèmes de valeurs de ces quantités qui correspondent aux deux racines de l'équation (8), on aura deux équations de la forme

( Ajn(^ n] -f-A;n(^, /i')=ft„

d'où l'on tirera pour n(cf, /z) et n(cp, w') des valeurs exprimées au moyen de deux intégrales à paramètres réels n(cp, 71"^), n(y, «*). Qn peut donc, dans tous les cas, ramener une intégrale à paramètre