LIVRE VI. — CHAP. IV, 5 IX

complexe à des intégrales à paramètre réel, ainsi que nous l'avions annoncé [1384].

Dans le cas particulier où Ton a

nn' -h /i -h «' -h /•* = o,

Tune des racines g^ de Téquation (8) est nulle, et il vient

/ij :^ o, ^j = — nn' ,

Si Ton fait

n = fie'*^ n' = li-e^'^j

on trouvera, en reprenant directement les calculs, à partir de Téquation (i), dans Thypothèse de g^ = o,

A ) ,tz' 4- ^* -T- f î/'cosv — /xle^'*

et la seconde équation ( i o) sera remplacée par Téquation (M) A.n(f,«) + A'.n(y,«')=-^;F(f) + iArgTht^îî^.

1393. Nous avons établi [1350] la relation identique

5ja H- «)5, (a — .r] sn*«

On en tire, en la différentiant logarithmiquement,

D sn' u Dxlog^i(« 4- x) - D,log5j(« -.r) - 2D,log5(x) = --^^,

d*où, en permutant entre eux a et u, et remarquant que la fonction 5i est impaire,

D sn^rt

D.log5i(x -f. «) 4- D.log5,(^ - a) - 2D.log5(«) = ^^,^'^^,^ ;

par suite, à cause des égalités

D.log^i (x + «) = D;r log5i (^ — a), D.log^i (x — «) = — D^Iog^j [x — a,

on a D,log^,(x+ «) - D,log5,(x- a) - aD.log5(«) = ^^.^'^^ ^^.

INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE TROISIÈME ESPECE. agS

On tire de là, en intégrant par rapport à x, I I — =— x.D.log^ a -f- -log-^ \,

\a 1 €iu

expression des intégrales dont le paramètre est logarithmique et compris entre — i et — oo , en fonction des quantités log^-^ et de leurs dérivées.

1394. Nous avons encore démontré [1350] la formule

d'où l'on tire, en raisonnant comme au numéro précédent,

, , ,. , /*" sn^udu ^ , -, , I, âlx-i-oi)

(2) A^snacnadna 1 — — =x.D,log9^(a) log— 7 f-

^ . J^ 1 — X*sn*asn*tt • o v ; ^ ^^(a; — «)

Le premier membre de cette équation est l'intégrale que Jacobi a choisie comme type des intégrales de troisième espèce et qu'il a désignée par II (m, a). Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, dont nous nous sommes servi jusqu'ici, nous désignerons, avec Gudermann, l'intégrale (2) par le symbole

(3) ô(u, a] = A'^ snacnadna I — — -— .

Suivant le langage adopté par Jacobi, la constante a est dite le paramètre de l'intégrale, tandis que, d'après la terminologie de Legendre, le paramètre est — k^sn^a.

En comparant l'expression précédente avec l'intégrale correspondante de Legendre, on aurait

(4) B{u, a)= [— u H-n(arai/, —^*sn*a)],

n(y,/,) = F(^)+-^6[F(y), F^arcsin^)]

La formule (2) donne le développement en série des intégrales de troisième espèce à paramètre logarithmique compris entre — k^