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1396. On pourrait traiter de la même manière les intégrales des trois autres formes

/(lu Ç en* n fin r dn^udu

i-i- n su* u J i-t- n sn* u J t -h n sn* u

On partirait du cas où le paramètre est représenté par — A^sn^a, et, en multipliant ces intégrales respectivement par les facteurs

dna A-^snticna

- - » , > dn^ tna.

tua dna

on obtiendrait pour chacune quatre formules, dont les seconds

membres contiendraient le même second terme - loer r~ < f o"

ceux qui s'en déduisent, et des premiers termes semblables, au changement près de Tindice du ^.

1397. Les seconds membres des formules obtenues de cette manière admettent, comme nous l'avons vu dans le § V de ce Chapitre, des développements rapidement convergents pour toutes les valeurs du module.

On peut, dans le cas des formules (7), (8), (9), augmenter encore la convergence, lorsque l'argument a du paramètre est plus

grand que — ou — ? en introduisant, au lieu de cet argument, son

complément R — a ou K' — a.

On a encore, entre les intégrales (3), (7), (8), (9), les relations

B («, ia ) ::r /S ( M, a ),

B[iu, a] -- i S(i£, a -f- /K'),

S(/l£,/fl):^6(»)(tf, a, ^').

1398. Donnons encore quelques formules relatives à la forme (3) de l'intégrale de troisième espèce, en laissant au lecteur le soin de les étendre aux autres formes.

Si l'on échange entre elles les lettres u et a dans la formule (6), on trouve, à cause de ^(a — x)=â{x — a).

S{a,u)z=ale\H— jt "j — - log