INTÉGRALE DE FOURIER

Si la fonction F (x) est paire, onverra, en développant cos|:x( ^ — x)y que le terme de Fintégrale qui dépend de sin/iÇ s'évanouira, et, en appliquant la formule du n^ 460, on trouvera

F(jr)=:- 1 f F(Ç)cOSfxÇcOS^J7r//A^.

^Jq Jo

De même, si la fonction F{x) est impaire, on pourra écrire

Ces formules pourraient s^étendre, comme celles de la série de Fourier, au cas d'un nombre quelconque de variables.

1194. ^applications. — I. Soit, a étant un nombre positif,

F(.r) = er-''', de x = o àx^=^-oo, et = e^^'^ dejr= — ooàj: = o;

F(x) sera alors une fonction paire de x, et Ton aura

T[jc]=i— I j er'^^cosiii cos iixditd^.

En intégrant par rapport à Ç, on a [456, IV]

Jr»ao ^

Donc

Ainsi l'intégrale

a pour valeur — e"*"**^ depuis x = — oo jusqu'à a: = o, et — ©"<'•*

depuis a: =0 jusqu'à a:= -|- 00 [485, IV].

Si l'on supposait, au contraire, F[x) = — e+'*^ de 0: = — 00 à

36 LIVBB VI. — CHAP. II, I m.

x=ro, on trouverait de même