INTÉGRALE DE FOURIER

III. Trouver une fonction qui soit égale à l'unité depuis x= — i jusqu'à a:= + i et qui soit nulle pour toutes les autres valeurs de x.

On aura

^, s '^ C^ ^ r ^ j^ 2 f« COS/x:rsinf* , F(j:)=- f </fA I cosf*5coSfAjrflÇ = - f ■ ^«f*,

résultat conforme à celui que nous avons obtenu au n^ 482, II.

§iv.

SÉRIES UE BÎJRHANN ET nE LAGRAlîGE.

1195. Nous avons vu [1141] que, sif{w) est une fonction de w uniforme et continue pour toutes les valeurs de cette variable renfermées dans un certain cercle € (dont nous prendrons, pour plus de simplicité. Je centre pour origine des coordonnées), cette fonction pourra se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de w,

(i) /(«') =ao-+-«i<«'H- a^w*-^. , ..

Supposons maintenant que l'on change de variable, et que w représente une fonction donnée

de la nouvelle variable je, qui soit uniforme et continue dans une certaine portion du plan ; cette portion du plan renfermera nécessairement le point correspondant à l'origine des w et pour lequel la fonction (f{z) s'annule. Soit z^ ce point, tel que l'on ait

Si l'on fait

F{z) sera une fonction de z uniforme et continue dans le voisinage du point Zq et dans toute l'étendue de la portion de plan pour laquelle les deux fonctions/* et cp à la fois seront uniformes et continues.

38 LITBB Vl. — GDAP. Il, § IT.

Si Ton met poor w sa valeur 9 (z) dans le développement de y((v) suivant les puissances de Wy on obtiendra le développement de F(z) suivant les puissances entières et positives de la fonction <^(2)y

11 s'agit de déterminer Té tendue de la portion 3 du plan des z pour laquelle ce développement est possible, et de trouver les expressions des coefGcients âo, a^ a^y ... au moyen des fonctions F et Cf.

1196. Posons, pour abréger, et considérons le résidu

Si la quantité

lim (Ç ~ z) ^~^L = "'"'^ ^^' ^ = V^

n'est pas infinie [et il en sera ainsi si ^'(2) n'est pas nul], cette quantité sera la valeur du résidu en question.

Supposons maintenant que, pour tout point du contour de l'aire 3, le module de co = ^(^) soit constamment plus grand que le module de w = 9(2). On pourra développer alors en une série

convergente suivant les puissances de w. On a, en eiTet,