IH [-...+-() H
En multipliant par — : F'(^)rf2^ et intégrant tout le long du contour de ^, on aura
SÉRIE DE BURUANN. 89
les coeiBcients b^ étant donnés par la formule
et le terme complémentaire 0^ ayant pour expression
1197. La condition
mod.u^mod.rf'
sera remplie si l'on prend pour contour de ^ la courbe que Ton détermine en égalant le module R de cp(z) à la plus petite des valeurs de ce module qui correspondent aux diverses racines de l'équation ç'(z) = o.
En effet, ce module R, qui s'annule pour le point z = Zo, va nécessairement en croissant lorsqu'on part de ce point, puisqu'il ne peut recevoir que des valeurs positives. Traçons autour de Zq une série de courbes que nous désignerons par (R) et dont chacune correspondra à une même valeur constante du module R. Si l'on pose, u et V étant réels,
l'équation générale de ces courbes sera
Deux courbes quelconques de cette suite ne se couperont pas, sans quoi il faudrait que u^-i-v^ admît au point d'intersection deux valeurs différentes, et alors u et 9, et par suite ç(z), ne seraient plus des fonctions uniformes. Donc ces courbes iront en s^élargissant à mesure que le module R croîtra, et chacune renfermera dans son intérieur toutes les précédentes.
Il en sera ainsi tant que le module R n'aura pas atteint un maximum. Or, pour ce maximum, on doit avoir
rf(tt'-f-p*) = 0, ou, en reprenant les notations du n^ 1101,
4o LIVRB VI. — GHAP. II, § IV.
X et y étant des variables indépendantes, il en résulte
d'où Ton tire X = o, Y = o, et par suite
/(j)=X-f-iT = o.
Donc, toutes les fois que le module d'une fonction sjmectique^{z) passe par un maximum ou par un minimum, la dérivée ^{z) s'annule.
Il s'ensuit de là que, si R| est le plus petit des modules de ^[z) qui correspondent aux diverses racines de Téquation 9^(2) = o^ Ri sera égal ou inférieur au plus petit des modules maxima. Si donc on prend pour contour de Taire ^ la courbe (R4 ) donnée par Téquation
<f'{z) sera différent de zéro dans toute l'étendue de cette aire, et,
si z est un point de l'intérieur et ^ un point du contour, on aura
toujours
inod.y(Ç)>mod.y(«).
Si, de plus, la courbe (R|) est contenue tout entière dans l'aire
de continuité m de la fonction F (z), et par suite aussi de sa dérivée
F'fzl F'(z) [11361, la fonction -77— r sera uniforme et continue dans
toute l'aire limitée par (Ri); et le développement donné par les formules (3), (4) et (5) sera convergent.
Si (R<) sortait de l'aire 15, dans laquelle F(z) est uniforme et continue, on remplacerait (R|) par une autre courbe (R'^) de la série (R), correspondante à un module R', <CRi et contenue entièrement dans fà.
1198. Cela posé, multiplions les deux membres de l'équation (3 ) par (sl[z)dzz=z dw, et intégrons-les entre les limites Zq et z ou entre les limites o et çv. Il viendra, en posant
(6) Ffs) =«0-^ ^1^^ -•-•••-+- ^«"«-^ / ^n^^f
SÉRIE DE BURMANN. il
OÙ l'on aura
La formule (6) représente la série de Bûrmann.
1199. Il nous reste à faire voir que, dans les hypothèses où nous nous sommes placé, le terme complémentaire I Qndw de la se-
rie (6) est infiniment petit pour n infiniment grand. Ce terme complémentaire s'obtient par l'intégration de l'expression
Le module II de f (^) est constant et plus grand que le module R de cp(^). Donc, en faisant sortir le module E de dessous le signey, on voit que 0,| se réduit à une fonction finie de z, multipliée par
le facteur ( - j , lequel est infiniment petit pour n infiniment
grand, d'où il résulte d'abord que la série (3) est convergente.
Maintenant, le terme complémentaire de la série (6) s'obtiendra en multipliant l'expression (8) par dw= (f^{z)dz et intégrant entre les limites Zq et z. Si l'on pose
R étant le module de (f{z) correspondant à la limite supérieure z, on obtiendra pour résultat une intégrale finie, multipliée encore
par le facteur infiniment petit I ^ ] 9 et l'on en conclura que le
terme complémentaire de la série (6) est encore infiniment petit pour n infiniment grand et que, par suite, la série (6) est convergente*
On pourrait encore remarquer que le reste de la série (6) peut se mettre sous la forme
4a LITBB TI. — CBAr. II, { IT.
expression qu*il serait facile de transformer en eflectnant Tintégration par rapport à Z. On obtiendrait ainsi le reste de la série de Bûrmann, comme on Ta fait pour la série de Caucfay [llâO] Nous n'insisterons pas davantage sur cette formule , trop compliquée pour être d^une utilité pratique.
1300. Donnons quelques applications de la série de Bûrmann. I. Supposons
Les courbes (R) seront données par Téquation
inod.[[» — «)!- — P,] = [mod.(s — a]][mod.(3 — p)] = R.
Or mod. [z — a) et mod. (;: — ^ ) sont les distances du point z aux deux points a et /3. Ces courbes sont donc des ovales de Cassini.
Pour R moindre que le carré de la moitié de la distance a^ des deux foyersy chaque courbe se compose de deux ovales séparées, entourant Tune le point a, l'autre le point (3. Pour R= ( - apj , les
deux ovales se rejoignent pour former une courbe en forme delemniscate. Pour une valeur plus grande de R, on a une courbe unique, renfermant les deux zéros de la fonction. ^
La dérivée y'(z)==2z — a — (3 s'évanouit pour z = ?
expression qui, substituée dans 7(2:), donne, pour valeur du module,
Il faut donc prendre R < I - afi j , et partant choisir pour Z celle
des deux ovales, dont se compose alors la courbe, qui entoure le foyer dont z doit être le plus voisin, le foyer or, par exemple.
On a alors, en supposant cette ovale assez petite pour que la fonction F(c) reste uniforme et continue à son intérieur,
F(z) = F(«)4-flj(z — «)(z — j3)-i-ûr,(s — a)«(3 — |3)«-f-...,
a„ = — limor* 7^-4t7. = — : ^2
