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SÉRIE DE BiJRHANN* 43

Soient, par exemple,

« = 0, jS^i, F(z) = (I-^)^

d'où R<[ 79 et supposons que la fonction F(z), uniforme dans

l'aire ^, qui ne renferme pas le point de ramification z = i, parte du point 2 = avec la valeur initiale i>^= i. Il viendra

(i - z)»*= I - ^ 3(1 - z) + ^iiii^:^ z» (, - z)«

i201. II. Immersion des fonctions.

Étant donnée entre w et z une équation de la forme w = (^{z), on peut, à l'aide de la série précédente, développer z, ou, plus généralement, une fonction donnée F(z) de z, suivant les puissances de (f[z) = Wf ce qui donne l'expression de la fonction inverse de la fonction f . La valeur de z en fonction de w pouvant offrir plusieurs déterminations, on obtiendra plusieurs formes de développement, correspondantes aux différentes aires ^ qui entourent les diverses racines ^o de l'équation (p(z) = o, et à l'intérieur de chacune d'elles z sera une fonction uniforme de w.

Soit donnée, par exemple, l'équation

On a ici

Zo=Z O, ff'[z) = (l— 3)e-«.

Pour la racine ^ = i de l'équation (f'{z) = o, on a

mod. y (z) = — •

Le contour à l'intérieur duquel z doit être compris est donc déterminé par l'équation

mod.fze"-) = -» ou x* -4-r' = e'^-^~*^ ^ ' e

Pour tout point de l'intérieur de ce contour, on a

44 LIVKB TI. — CHAP. Il, § IV.

OÙ

1202. III. «SeWe de Lagrange.

Supposons que Téqualion entre w et z soit de la forme

d'où Ton tire

et, par suite, Zo = c, en admettant que y*(c) ne soit pas nul. Si f{z) reste fini dans Taire considérée, Téquation (f'(z) = o

devient

Parmi les racines de cette équation , on prendra celle qui donnera

pour le module de -^ la plus petite valeur R|, et le contour de

Taire où z devra être renfermé sera déterminé par Téquation

mod. — — -^ = Ri-

On aura alors

¥[z) =F{c] + aiw-+-a,fv* -h.. ., avec

1203. On peut établir la série de Lagrange d'une manière plus é lémentaire, mais qui a Tinconvénient de ne pas faire connaître les conditions de convergence du développement.

Soit z une fonction de w, définie par Téquation

(1) Zrz:c4-«'/(3).

Si Ton représente par

(2) Z=:'}(cc')

SERIE DE LAGRANGB. 45

la dépendance entre z et Wy on a, par le théorème de Maclaurin,

L'équation (i), pour (v = o, donne z = c, ou

Un a ensuite

(4) ^ = fH=/(.) + «./'(z)^.

d'où

On pourrait continuer ainsi, et obtenir successivement les valeurs de ^'(o), 4^''(o), .... Mais on peut trouver une formule pour exprimer le terme général de la série.

De l'équation (4)y on tire

dfv I — i\>f' ( z )

Si Ton différentie] maintenant l'équation (i) par rapport au paramètre c, il vient

dz I

donc

• /• V A. <Ï2 j àz

ce qui lait connaître j- au moyen de -r- •

On a maintenant identiquement, quelle que soit la fonction -^^

comme on peut s'en assurer soit en effectuant les différentiations, soit en remarquant que ces deux quantités sont les expressions de

I>,D,x(^)=I>cI>.x{^).

Donc, en remplaçant x'(^) V^^ f{^)y l'équation (5) donnera

DÎ3 = D.[/(3)D,3] = D,[/(3)D.2]=D,{[/(3)]«D,z|,