LIVEB VI. — CHAP. II, § IV

d*où, en faisant w= o,

f(o)=Dc.[/{c)?. De même

d'où

Et ainsi de suite, de sorte qu'on aura, en général,

En substituant ces valeurs dans Téquation (3), on aura le développement cherché de z suivant les puissances de w.

Si, au lieu du développement de z, on veut obtenir celui d'une fonction donnée F(z), on formera alors les valeurs des dérivées de F ( 2 ) par rapport à w. On a

DlF[z] =D,[F' [z)/{z)l>,z]=D,[r {z)f[z)D,z]

= d/jF(3)[/(.)]^D,z}=:D.{[/(.)]«D,F(.)J,

et, en général,

D;F(2) = Dr'{[/(2)rD,F(3)j.

Si l'on pose F(s) = <!'(«»), on aura donc

et généralement

♦('•)(o)=Dr'|[/(c)rF'(c)},

et l'on retrouve ainsi le développement du numéro précédent.

1204. Comme exemple de développement par la série de

Lagrange, prenons le problème de Kepler, qui consiste à tirer de

l'équation

T = « — e sln u

le développement de l'anomalie excentrique u d'une planète suivant les puissances de l'excentricité e, T étant l'anomalie moyenne. On