LIVRE VI. — GUAP. II, § IV

puissances de cosu. On aura ainsi

-- z= i-f- — -H -j — 1- . . . 4 f 2ff y — h • • • j cos r

--j = IH h -y

-h I h-^ H jcos2T+(— > 1 jcos3T

-+- 1 — 7— -4- • ' • 1 cosAT -+-....

En multipliant ce développement par celui de

e^ e^ tf«

on aura le développement de

£fp=— V^i —e^.dTf

d'où, en intégrant à partir de T = o, on aura, pour l'expression de Tanomalie vraie,

p-cT=T+(^2e---4-...jsinT-+-(^^--3-3+...jsin2T

1205. Pour obtenir maintenant les conditions de convergence de ces développements, considérons l'équation f'(z)=o du n** H97, laquelle devient ici

sin a — f // — T ) cos u „

z=o, ou M — T — tangu = o.

sin- Il

En supposant T réel , et posant u = x -h iy^ cette équation se partagera en deux autres,

^ sin2.r Shay

COS2X -h Ch2^ COS2J; -h Ch2/

Ces équations ne pouvant être résolues tant que la valeur de T n'est pas donnée , cherchons du moins la plus petite valeur que

SERIE DE LIGRANGE. 49

puisse recevoir le module de e pour une valeur réelle quelconque de T.

La seconde des équations précédentes peut se mettre sous la

forme.

. • Shar ^, 2 sin*x = 1 — h Çaxiy,

Le second membre croissant avecj^, et le premier membre ayant pour valeur maximum a, j^ ne pourra surpasser la racine réelle de

l'équation

Sha^ I

iz=:Ch2r— -* ou rr=----»

laquelle, étant résolue au moyen des Tables de fonctions hyperboliques, donne la valeur

Si maintenant dans la valeur e= — : on remplace u — T par

sin a * *

sa valeur tirée de y'(u) = o, savoir, u — T= tanga, il vient

, Ch r cosx -+- / Sh r sîn x

e z= secu = 2 — ■ — -— ^ ,

COS2X -h Lhix

expression dont le module est

COS2X -h Chijr

OU, en remplaçant cos2j:4- Ch2j^ par sa valeur '—'

ar

Sh2j^

Cette quantité décroît pourj^ croissant, et, par suite, son minimum correspond au maximum de j^, c'est-à-dire à j^ = i , 1997 .... On a donc, pour le minimum de R,

Sh2r Ch2.r— I eut

= = Sh V>

2jr a "^

d'où

H.— Court de Cale, infin., IV. 4

5o LIVRE VI. — CHAP. II, § V.

Donc le développement ne sera possible, quelle que soit la valeur réelle de T, que pour les valeurs du module de e ou de Texcentricité inférieures à 0,6627. . ..