X -h iy — c = x -+- / j- — [a -^ iù]=: pe
d'où
X — a=z p cos^y x — b = p sin^,
et prenons pour contour le cercle de rayon infiniment petit p.
L'expression dw=lJdx -j-Vcî^ prendra, p étant constant, la forme F(p, <f)d(f, d'où
dw=\\m I F{p,f]df,
Soit, par exemple, l'intégrale fs rxdy—xdx
prise le long du contour d'un carré dont les côtés ont pour équations x = it:i,j^ = ±:i. L'intégrale pourra se décomposer de la manière suivante :
r'-±-^ r'^^+ r'^z^+ r"zi^
Or les fractions
ont l'une et l'autre un point de discontinuité pour a: = o, j^ = o. En calculant, par la transformation précédente, l'intégrale (i) prise autour de ce point, on aura
Donc
r-^ ' dx n
1219. Si en particulier Udx-j-Vrfj^ est la différentielle d'une fonction monogène F(^) d'une variable complexe z, on aura alors
d'où
En faisant donc U =/(z), l'expression \Jdx -hYdj- se changera
68 LIVRB VI. — CHAP. II, § Vil.
en f[z)dzy et — : sera le résidu intégral de la fonction y( s) relatif à Faire 3. On aura donc la formule
Pour faire usage de cette formule, on choisira le contour de l'aire 3 de manière à pouvoir exprimer l'intégrale 1 J\z)dzk
l'aide d'intégrales défînies relatives à des variables réelles, et l'on égalera cette valeur à la valeur de ^, calculée au moyen des formules que nous avons données pour évaluer les résidus. En séparant ensuite, dans les deux membres de l'égalité, le réel de l'imaginaire, on obtiendra deux relations entre des intégrales définies et des quantités connues.
On prendra généralement pour contour une ligne telle qu'une seule des variables réelles x et^, ou r et p varie à la fois, ou bien que les deux variables soient des fonctions données d'une même variable auxiliaire; on rencontrera alors immédiatement des intégrales définies ordinaires. Pour cela, on composera, par exemple, le contour de parties circulaires ayant pour centre l'origine, ou de parties rectilignes parallèles aux axes. Dans le premier cas, le rayon vecteur r sera constant; dans le second, une seule des coordonnées Xjj variera.
Appliquons cette méthode à quelques exemples.
1220. Si l'on prend pour contour un cercle de rayon r et de centre c = a -h iby et que l'on pose
X =^ a -\- rcos/7, / = 6 -h rsin/?,
la difTérenlielle IJdx -i-Ydy prendra la forme F(r, /;)rf/^, ou simplement F{p)dpy r étant constant, et l'intégrale proposée
deviendra / F(^p)dp. Donc on aura
f "F(p]dp::.X
équation qui se partagera en deux autres si F[p) est une fonction complexe de p.
Soit, par exemple, l'intégrale
/{z) dz ,
I — az z
f{z) étant une fonction uniforme et continue dans Tintérieur de
l'aire l^. La fonction , a pour infinis les points z = o et
[i — az)z ^ ^
z= -j qui peuvent être, ou non, contenus dans Taire Z. On aura donc
r f[z] dz^ r /(z) dz ^ r f(z] dz
J'* I — az z J^i — az z J ^ i — az z
chaque intégrale du second membre devant être remplacée par zéro si le point auquel elle se rapporte est hors de Taire.
Si z = o est dans Taire, la première intégrale aura pour valeur
/•. = 27r/lini I z — — I = 27r//(o).
De même, si ^ = - est dans Taire, la seconde intégrale sera égale à
La valeur de l'intégrale proposée sera donc
A = X',, ou = /*j, ou = Âl, H- X-j,
suivant que Taire Z contiendra le point z = o seul, ou le point z = - seul, ou ces deux points ensemble.
Si Ton prend maintenant pour Z un cercle de rayon i , alors
dz z =• éi\ — = idp^ z
et il vient
f i -T^^ == 2 7r/( o ), pour mod. a < i ,
70 LIVRB VI. — COAP. II, S VIK
et
X'"f!z^'/f = ^-[/(<^)-/(^)]' PO«rinod.a>i.
En supposant y*(z) = i et a réel, il vient, suivant que la valeur numérique de a est <^ i ou ]> i ,
= 2 TT ou =0,
d'où [i;oir 459, III]
'^'^ (i — acosp)dp
^ I — 2a cos/> -4- a* ■^^'^ sinpdp
Q I — 2acosp -+- fl'
= 27r ou o
1221. Dans certains cas, on connaît a priori la valeur de A. Supposons, par exemple, que Ton sache développer, par un moyen quelconque, la fonction F(z) de la variable complexe z en une série convergente pour tous les points de Taire 3i, et ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — c. Le coefficient de la n**"' puissance de z — c aura pour expression [1140]
Si donc on connaît d'avance la valeur de ce coefficient a„f on aura par là même la valeur de l'intégrale qui le représente.
Si Ton prend pour 2i un cercle de rayon r et de centre c, compris dans l'intérieur du cercle de convergence de la série, la valeur de l'intégrale sera
' ¥{c -+- re^P)e-'"'Pdp = inr"a„.
Plus généralement, si l'on connaît le développement d'une fonction F(z) en une série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de z — c et convergente dans tout l'intervalle 2i compris entre deux cercles de centre c, on aura la même formule (i)
pour toute valeur entière de /i, positive, nulle ou négative, r étant la distance du centre c à un point quelconque situé entre les deux cercles.
On pourrait aussi employer au même usage l'expression générale des coefficients de la série de Bûrmann.
Pour appliquer ces formules au calcul des intégrales définies, il suffira de séparer, dans chaque membre, le réel de l'imaginaire, ce qui fournira deux relations.
Par exemple, du développement connu de la fonction
on tire, pour /i^ o,
27rr'»
formule qui se décompose dans les deux suivantes :
\ ^rcotp cos(/'sin/>-H/i/>)^ = (— 1)" ,
tf~'*^~''sin(rsin/>-h np)dpz=io.
Pour n<^o, la première intégrale serait nulle, aussi bien que la seconde.
4222. Prenons maintenant pour Taire 3 un demi-cercle ayant son diamètre sur l'^xe des x et son centre à Torigine. En désignant par R le rayon du cercle {Jig» 92), on a
/(A'A)-H/(ABA')z=A, c'est-à-dire
/ f[x]da:'^i Ç"" f[KéP]Vie^Pdp=ti.
Supposons actuellement que f[Ke'P) soit infiniment petit d'ordre /x pour R infiniment grand. Alors la fonction Rt'y(Re'>)e'> conservera, pour R croissant indéfiniment, une valeur généralement finie cp(e'/'). La seconde des intégrales précédentes pourra
7^ LIVBB VI. — CBAP. Il, § VII.
alors s'écrire sous la forme
La quantité sous le signe J restant toujours finie, Tintégrale sera
pareillement finie, et, si Ton suppose /^]>i9 elle sera multipliée par un facteur infiniment petit. Donc on aura, dans ce cas,
lira/ nf[Re'P)ïiePdp = o,
et notre formule se réduira à
(2) f ^f[x)dx=L,
t/ — en
GO
A représentant toujours le produit par 27;i du résidu intégral de la fonction y*(z), relatif à tous les infinis de cette fonction situés au'dessus de Taxe des jc.
1223. Considérons, par exemple, l'intégrale
m eln étant deux entiers positifs, tels qu'on ait m<^n. Alors
est infiniment petit de Tordre a/i — 2/w]> i, et la formule (a) est applicable. On en tire
CALCUL DBS INTEGRALES DEFINIES. 78
Or, les infinis situés au-dessus de Taxe des x sont celles des racines c= e^P de Féquation i -f- 2^"= o dans lesquelles le coefficient de 1 est positif et qui répondent à
ff StT StT [in l'jTT
in 7,n ^n m
Il vient alors
A = 2r/(Fi -+- F3 -h . . . 4- F,«i ),
en posant; pour abréger.
On a, pour^ = ca,
Fi.= hm — ^—^ '——- = hm ^ ^ , - ^,-— , >
ou, à cause de 1 +cJ" = o,
F^,= lim ' , -— = - — 4'"^*-
— 2/iec^*-+- ... 2/1
En faisant donc, pour abréger, e *" =7, on a
Or, ]^our m entier, y*" = — i ; donc
l^k= r = cosëc^^ —'
/î 7 — 7~* 1 in 2 n
Si l'on fait maintenant R= 00 , et que Ton suppose m<^/i, d'où 2m-f-i<^2/i, Tintégrale prise le long de la demi-circonférence s'évanouira, et il restera, en prenant la moitié de part et d'autre,
x^"^dv ir , ( 2 m -I- 1 1 TT -= — cosec j
comme nous l'avions déjà trouvé [490].
