LIVBB VI. — CHAP. II, § VU

1224. Soit encore rintégrale

- dz.

En faisant z = Re'>, la fonction y(z) devient

giKCMp

g-h%\np

et, pour toutes les valeurs de p comprises entre o et tt, cette quantité est infiniment petite d'ordre infini lorsqu'on fait R = oo . Il reste à examiner ce que devient Tin tégrale

if/(Ke'P)Ke'Pdp

pour les valeurs de p infiniment voisines de o ou de rt, c'est-à-dire à trouver la limite de Texpression

Si Ton fait abstraction du facteur e"*^ "*"'*, l'expression sous le le signe f peut se mettre sous la forme

(P -h /Q) cospdp,

P et Q étant des fonctions de p qui ne deviennent pas infinies en même temps que R. Donc l'intégrale proposée peut être mise sous la forme

/ e-^*^^Pcospdp{l?'hiQ),

expression dont la valeur est égale à la quantité

e-^^^Pco%pdp = i (i — c-R«»"«),

multipliée par une valeur moyenne de la fonction P 4- 1 Q, c'est-àdire par une quantité finie. Donc l'intégrale s'annule pour R infini, et la formule (2) est applicable.

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. y5

Pour a positif, la fonction a, au-dessus de l'axe des Xj l'infini z = ia, auquel correspond le résidu

Donc, pour a ]> o,

J-oo **« —

la — X

Si l'on change a en — a, la fonction n'aura plus d'infini audessus de l'axe des a:, et l'on aura A = o, d'où

00 la-^x

En combinant ces deux formules par addition et soustraction, on en tire [485, IV]

* cosjc Tze-^

dx=:

I —- dx = •

Cette dernière formule donne, en faisant tendre a vers zéro.

sinx TT dx-=i —

1225. Si la fonction /(^) a un infini en un point de l'axe des x, à l'origine -z = o par exemple, l'axe des x faisant partie du con •

Fîg. 93.

tour, nous changerons alors la forme de ce contour, afin d'éviter le point O, en décrivant autour de ce point ^fig* 93) un demicercle de rayon infiniment petit r, et prenant pour aire l'espace

76 LIYBB VI. — CHAP. Il, § VU.

compris entre les deux demi-cercles et leur diamètre commun Ox. On aura alors la formule

' /( rv'P )re'Pdp = A.

Si la dernière intégrale i f[r&P)re'Pdp tend vers zéro en

même temps que r, on se retrouve alors dans le cas des numéros précédents, et, si Fintégrale prise le long du demi-cercle extérieur s'évanouit pour B = oo , on pourra appliquer Ja formule (a). Si les intégrales prises le long des demi-cercles ne s'évanouissent pas, on joindra leurs valeurs, prises en signe contraire, à la valeur de^.

Soit, par exemple, la fonction

z on a

f[re''P)re^'Pdpz= j e"''"'dp.

o Jo

En développant e""*^ en série et faisant ensuite r = o, on voit que cette intégrale a pour valeur ?:. On en conclut, en raisonnant comme au numéro précédent,

c'est-à-dire

.oc .

sidj: TT dx=z -

1226. Prenons pour aire 2i le rectangle parallèle aux axes, dont les côtés ont pour équations

x=xo, x=zx, r=jo' x = ^'

La formule

/ (Ur/x-f-Vrf/) = A J3i

CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES. 77

devient

(3) f (U.„,-U,.,»)rfx-f- r (V,,,-V,.,^)rfr=A,

et, si Udx -hydj" est de la {oTmef[x-h ij) {dx-h îdj),

Si l'on suppose maintenant Xo = — ao,X = -f-oo,Y = -f-QO, et que iJjr,x et Vj.,j ou /{x-hiy) s'annulent pour x=dzoo quel que soitj^, et pour^ = -j- oo quel que soit x, ces fonctions étant, de plus, des infîniment petits d'ordre supérieur au premier, la formule (3) devient

et la formule (4) •

Si, dans celte dernière, on suppose jo = o, on retrouve la formule (2).

Si l'on fait

^ ' O.v ' dr

la formule (3) devient

Supposons, par exemple, a étant positif, et faisons

78 LIVRE VI. — CHAP. Il, § Vil.

Si la fonction F{w) est infiniment petite d'ordre supérieur au premier pour x = 00 , l'équation se réduira à

F{a,T)d.r—[a'hib) f F[[a -^ ib]x]dx = A.

Si Ton prend F((v) = w""* e"'**, n étant réel et positif, on a A == o, et F(w) est infiniment petit d'ordre supérieur au premier pour j: = H- 00 . La formule précédente devient donc [488]

Donc la formule (7) du n° 488 subsiste pour les valeurs complexes de a dont la partie réelle est positive.

Si l'on fait a-\-ib = pe", la formule se décomposera dans les suivantes :

e~^^x'^-^oosbxdx=^ — __r(/i),

JT'^ ^^ .. I • 1 . sin//Ô , ,

1227. Soit ¥ {z)= ~-!- une fonction rationnelle dontlenumé-

rateur est d'un degré inférieur au moins de deux unités au degré du dénominateur. Supposons que l'équation <^{z) = o n'ait pas de racines réelles ni de racines multiples, et soient C|, c,, . . . les racines complexes de cette équation qui ont leur partie imaginaire positive. En appliquant à cette fonction la formule (2), il viendra [469, IV]

— — rfx — 27ri > :——-=: 'y.Tt > C,

le signe S s'étendant à tous les infinis c situés au-dessus de l'axe des 07, et Ce, Cj, ... étant les numérateurs de celles des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction donnée, qui correspondent à ces infinis.

Ainsi, si f{z) est d'un degré inférieur à l'unité, la fonction

Zi*L n'aura, au-dessus de l'axe des x, que le seul inflni ^ = -4- /. I -t- «*

et, par suite,

En particulier, siy(jî)=( — ix)i*~',pour o <^fx<^ 2, on a

d*où, à cause de i = e* ,

rt 1 -f- X* . .tATT

° 2 sm * —

formule qui revient à celle que nous avons trouvée au n*" 490.

1228. Prenons pour contour le périmètre d'un triangle rectangle ABCdontles sommets aient pour coordonnées respectives {xo,j'o), (X, jo), (X.,Y). On aura