AB)+/(BC)-/(AC) = A

En faisant, pour plus de simplicité, a:o=j^o = o, on aura, en chaque point de AG,

jr=zaa:, d'où djr =zadx, Yi^aX,

et Ton a, au lieu de la formule du n® 1206,

Si Ton fait w = x -^iy, cette formule devient

Ç ¥[jt:]dx-¥ia Ç F{%-i'iajr]djr — [i^ia)C F[[i -i- ia) x]€lr = ^.

Soit, par exemple, la fonction

8o LIVRE VI. — CIIAP. II, S VII.

qui est finie pour toule valeur de Xy si Ton prend

3 = ( I 4- «Vî ) -r, «• < I .

Alors A = Oy et Ton a

Si Ton suppose maintenant X=^oo , comme on a, en faisant

el que la seconde intégrale a toujours une valeur finie, la première

Xoo ç

e"' dx = — '- »

d^où, en séparant le réel de l'imaginaire,

^-(1 -a«;x-.cos[ ^ûx' ^ dx = , ^"^ ,, ,

^-f '-«')*■« sin(2ax=)f/x =

1229. Soit F ( z) une fonction rationnelle. Nous avons vu [1206

et suiv.] que celte fonction peut se décomposer en une fonction

entière f{z)y plus la somme de tous les résidus de la fonction

Ff i: .

— ^"— , relatifs aux divers infinis Cy c\ ... de la fonction F(Ç),

somme que nous désignerons par

-i (7- cf •

En prenant donc pour ^ une aire renfermant tous les infinis de F(z) autres que z = oo , et représentant par <f[z)une fonction quelconque uniforme et continue dans toute l'étendue de Taire Hy

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. 8l

on aura

et par suite [1135]

En faisant, par exemple, (p(z) = e'i**, pour/ui^o, on aura, la fonction sous le signe fêlant supposée infiniment petite d'ordre supérieur au premier pour x = oo ,

où Ton a fait c = a -f- lé, F ( x) n'ayant aucun infini sur Taxe des a\

1230. Soient w une fonction de z, et cj>(^v) une fonction de w qui, pour des valeurs

correspondantes à des points z contenus dans Taire jjl, devienne infinie des ordres respectifs

Soit, de plus,y(z) une fonction de z qui ait, pour les points

contenus dans Taire ;^, des valeurs infinies des ordres respectifs

Posons, comme précédemment,

et de même

la variable (ù prenant les valeurs correspondantes à celles que prend Ç le long du contour de Taire 3.

H. — Cottrf de Cale, î/tfin., IV. 6

^» • LIVRE VI. — CHAP. Il, § VII.

Le produit 9 (fv)/(j) ajant pour infinis tous les infinis des fonctions 9 et y, on aura

Si l'on pose maintenant

f{z]dz=:¥[iv)fiu^, ou F(lp)=/(*)^,

la première somme deviendra

si Ton fait ensuite

la seconde somme deviendra

Donc on a la formule

Exemples. — I. Soit f{z) = j • En prenant toujours pour

3 la moitié supérieure du plan , on a

c =1 i, C=z liai