DES FONCTIONS MULTIFORMES
linue dans chaque couche et que, d^une couche à l'autre, les valeurs de w correspondantes au même ^ ou à des z infiniment voisins dilTéreront entre elles de quantités fînies.
Il s'ensuit de là que, tant que les valeurs dey( 2) correspondantes à un même z seront distinctes et inégales, on ne pourra pas passer d'une couche de valeurs de çv à une autre par une variation continue. Donc, en vertu de la condition de continuité, ces couches seront isolées les unes des autres, comme si les diverses déterminations de f{z) formaient autant de fonctions distinctes, dont chacune serait uniforme et continue.
En d'autres termes, les courbes tracées par les différentes déterminations sur le plan des Wy c'est-à-dire les différentes branches de la courbe totale des çv, ne se rencontreront jamais en un point correspondant pour les deux à une même valeur de z.
Ainsi, la condition de continuité de chaque détermination de w isole les diverses déterminations les unes des autres.
1233. Il p'en serait plus de même si, pour une certaine valeur Z| de z, deux déterminations w^*\ w^^\ distinctes en tout autre point, devenaient égales entre elles. Alors, en ce point Z|, rien ne distinguerait plus les deux couches de valeurs de çv, et de la valeur commune ÇV| on pourrait passer indifféremment, sans rompre la continuité, soit à la valeur Wj*' correspondante à 22 = 2|-f-rfr, dans la première couche, soit à la valeur w'^^ correspondante au même 22 dans la seconde couche.
Autrement, les deux branches çv^^\ w^^^ de la courbe w auraient un point d'intersection çvi correspondant à la même valeur Z| de la variable Zy et, si l'on change Zt en z, -f- rf^i, rien n'indiquerait plus à laquelle des deux branches doit être attribuée chacune des
deux valeurs de çv, -\ — -^ dz^ de sorte que la branche BA, par
exemple [fig* 94)> pourra aussi bien être continuée parla branche AE que par la branche AC, si l'on n'a pas entre les deux d'autres motifs de choix que la condition de continuité de chaque détermination de (v.
Un tel point z,, pour lequel se confondent deux ou plusieurs déterminations de la fonction çv, et auquel correspond, par conséquent, un point çv, d'où partent en divergeant les diverses
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branches de la courbe w correspondantes à un chemin quelconque de Zf se nomme un point de ranuficaiion de la fonction w.
Les points de ramification et les points de discontinuité d'une
Fig. 9^.
fonction sont désignés sous le nom commun de points critiques de cette fonction.
1234. Les fonctions multiformes que l'on rencontre dans l'Analyse sont d'abord les racines d'une équation algébrique ou transcendante,
entre la fonction w et la variable indépendante z. Nous n'entreprendrons pas ici l'étude du cas général, et nous nous bornerons à considérer le cas où l'équation est résoluble algébriquement par rapport à w.
Une autre classe de fonctions multiformes est celle des intégrales de fonctions présentant des points critiques.
1235. Étudions, pour commencer, quelques exemples de fonctions multiformes, racines d'équations algébriques.
L Soit la fonction
déterminée par l'équation
On peut l'écrire sous la forme
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Cette fonctioQ admet deux déterminations, égales et de signes contraires , différant par suite entre elles d'une quantité finie tant que z ne sera pas égal à ± c. Pour z = 'àzc^ les deux déterminations de çv prennent la valeur commune zéro. Donc z = -f- cet r = — c sont deux points de ramification de la fonction çv.
Pour distinguer Tune de l'autre les deux valeurs de w, mettons les deux facteurs sous le radical sous la forme
et, pour fixer les idées, supposons qu'au point z=.o on attribue aux deux arguments p et p' des valeurs positives et moindres que 2 7r. On aura, pour la valeur de w correspondante à un z quelconque,
( I ) rt' m dz sjrr' e * .
La valeur initiale de p étant choisie comme nous l'avons fait, si, pour arriver de O en un point quelconque M (Jig- gS), on fait suivre au point variable z un chemin quelconque, et si l'on imagine
Fig. 95.
que des points -hc et — c partent deux rayons vecteurs aboutissant au point z et le suivant dans tout son parcours, chacun de ces rayons décrira autour de son extrémité fixe un angle de grandeur quelconque et parfaitement déterminé. Donc chacune des deux valeurs de w, que nous avons distinguées par les signes -f- et — , sera aussi parfaitement déterminée. Ces deux valeurs ne cesseront pas d'être inégales tant que les rayons r et r' seront tous les deux différents de zéro.
1236. Si Ton fait décrire à z un contour fermé quelconque, ne
88 LIVHB VI. — GHAP. III, § I.
comprenant dans son intérieur aucun des deux points de ramifi cation -i- c, — c, chacune des fonctions
étant uniforme et continue dans cette aire, on pourra lui appliquer les théorèmes relatifs aux fonctions synectiques, et en particulier celui en vertu duquel chacune de ces fonctions arrive à la même valeur lorsqu'on fait passer z d'un point Zq à un autre z suivant deux chemins différents, renfermés Tun et Taulre dans l'intérieur de cette aire. On voit aisément alors que chacun des angles/;, p' arrivera en z avec la même valeur, quel que soil celui des deux chemins qu'on ait parcouru.
Dans ce cas, on pourra, sans changer la valeur finale de la fonction, retrancher de Taire 3, comprise dans le contour, des portions quelconques [H27], et par suite réduire cette aire à la droite qui joint les deux positions z^ et z, pours^u que cette droite soit tout entière contenue dans l'aire 3.
Si Ton considère l'accroissement tv — Wq de la fonction, correspondant au déplacement de z, comme l'intégrale des accroissements infiniment petits correspondants aux éléments infinitésimaux du chemin suivi par z, on voit que, dans l'hypothèse admise, on pourra remplacer l'intégrale prise le long d'un chemin quelconque contenu dans l'aire par l'intégrale prise le long du chemin rectiligne aboutissant aux mêmes extrémités. Nous donnerons, pour abréger, à cette dernière intégrale , le nom d^intégrale rectiligne prise entre les limites Zq et z.
1237. Si la droite ZqZ passait précisément par l'un des points de ramification c, on éviterait ce point en remplaçant une portion de droite infiniment petite, prise de part et d'autre de c, par une portion de courbe, un demi-cercle par exemple, tournée dans un sens tel que le chemin rectiligne ainsi modifié et le chemin curviligne qu'il doit remplacer ne comprennent pas entre eux le pointe.
Pour rendre ces faits sensibles par une image physique, imaginons un fil flexible étendu sur le chemin parcouru par z entre les points Zq et z, et concevons aux points -h c et — c deux obstacles verticaux, empêchant le cordon de passer par-dessus l'un ou l'autre
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de ces poînls. Deux positions quelconques du fil pouvant se transformer Tune dans Tautre sans rencontrer les obstacles comprendront entre elles une aire qui ne renfermera pas ces obstacles, et, par suite, les variations de la fonction correspondantes à ces deux chemins seront identiques et elles seront égales à Taccroissement rectiligne si Ton peut redresser le fil sans rencontrer les obstacles. Dans le cas où le chemin rectiligne passe par le point c, on s'avancera sur ce chemin à partir de Zo jusqu'au point z = c H- rc'*, infiniment voisin de c, a étant l'argument de Zq — c] puis on décrira du centre c et du rayon /' un demi-cercle dans le sens des angles croissants ou décroissants, suivant que le rayon vecteur parcourant le chemin curviligne de Zq en z fera le demi-lour de c dans le premier sens ou dans le second. On arrivera ainsi de Tautre côté de c avec une valeur de l'argument de re'* égale à a rii r, et,
par suite, le facteur
\U — c = \lr c ' deviendra soit
soit
i (t — r^ il
suivant le sens dans lequel on aura contourné le point c. D'après cela, w arrivera en z avec l'une ou avec l'autre de ses déterminations, selon que l'on aura choisi l'un ou l'autre des deux demi-cercles pour remplacer le diamètre commun. Dans tous les cas, on aura le moyen de distinguer quel est celui qu'il faut choisir.
1238. Si l'on fait décrire au point z, autour du centre 4- Cy un cercle assez petit pour ne pas contenir d'autre point critique que
-f-c, l'angle p variant de a??, -variera de jr, et par suite y^e '
Si
sera multiplié par e'* = — i . Donc, après avoir parcouru ce cercle, la valeur de w aura été multipliée par — i et aura changé de détermination. Il en sera de même si z fait le tour de — c.
Si z parcourt une courbe fermée faisant n fois le tour de -f- c et /i' fois le tour de — c, les tours étant comptés positivement ou négativement suivant le sens du parcours, les deux facteurs de iv
