LIVRE VI. — CIIAP. III, § I

seront respectivement multipliés par

-.«lie — / . \n gtti'iii — / I \n*

et par suite w sera multiplié par ( — i )"'*"'»'. Donc w changera ou ne changera pas de détermination , suivant que le nombre n -|- /i' sera impair ou pair.

1239. Supposons que w parte de l'origine avec une certaine détermination, qu'il se dirige vers un point critique c suivant un chemin rectiligne, qu'arrivé à une distance v de c, moindre que celle de c au point critique le plus voisin et que nous pourrons supposer infiniment petite, 11 quitte la droite Oc et décrive autour de c une circonférence entière qui le ramène sur la droite, el enfin qu'il revienne en O suivant la même droite. Le chemin ainsi parcouru sera dit un contour élémentaire, et nous désignerons par (c) le contour élémentaire relatif au point critique c.

Si c, comme dans l'exemple actuel, est un point de ramification, 'li' changera de détermination en parcourant le cercle qui entoure c, et, par suite, reviendra en O avec une valeur différente de celle qu'il avait au départ.

1240. Supposons maintenant un chemin quelconque, conduisant d'un point initial Zq à un point final z et entourant les divers points critiques c, c', (/', ... d'une fonction donnée w chacun un nombre quelconque de fois, et concevons, comme précédemment, un fil flexible appliqué sur ce chemin et des obstacles placés aux divers points critiques. Si l'on tend le fil, il commencera par se serrer autour des obstacles, en les entourant chacun un certain nombre de fois et en laissant entre eux des portions rectilignes. Détendons maintenant chacune de ces dernières, de manière à la remplacer par deux cordons rectilignes allant du point initial z^ à chacun des deux obstacles. Nous aurons une transformation analogue à celle que représente la Jig. 96. Les fils tendus entre les points critiques et le point initial z^ se changeront, à la limite, en contours élémentaires, dont la partie circulaire sera parcourue un nombre quelconque de fois, positif ou négatif.

De cette manière, on pourra remplacer tout chemin de nature quelconque, allant de^o en z, par un système de contours élémen-

DKS FONCTIONS MULTIFORMES. 91

laires relatifs aux divers points critiques, lesquels devront être parcourus dans un ordre déterminé et chacun dans un certain sens et un certain nombre de fois, ce système étant suivi d'un chemin

Fîg. 96.

rectiligne allant de Zq à z, en évitant, s'il y a lieu, les points critiques, comme nous l'avons vu plus haut.

On voit donc qu'une fonction multiforme w, partant d'un point donné Zq avec une détermination désignée, peut arriver en un autre point donné z avec telle ou telle détermination, suivant la nature du chemin parcouru par la variable z, et que, dans tous les cas, on pourra remplacer un chemin quelconque par un chemin composé d'une certaine combinaison des contours élémentaires relatifs aux divers points critiques, ces contours étant parcourus chacun un nombre de fois déterminé et dans un ordre convenable ; puis d'un chemin rectiligne allant du point initial au point final, en évitant, dans un sens convenable, les points critiques qui pourraient se trouver sur son parcours.

1241 . II. Prenons pour second exemple la fonction

92 LIVBB VI. — GUAP. III, § 1.

Nous aurions à répéter sur celle foDClion une grande partie de ce

que nous avons dît à propos de la fonction ^z* — c'-*, dont la fonction (i) est un des facteurs. Ici c est le seul point de ramification situé à dislance finie; mais il existe encore un second point de ramification, le point de Tinfini, z = oo .

En effet, si nous posons, en introduisant le rayon réciproque

[1114], z = -ï il viendra

En faisant

il viendra

z' — n/f\ I — cz' — r'e'>',

Cl'

expression qui change de signe si Ton fait le tour du point z'=o. Donc 3'= o pu s = 00 est un point de ramification de la fonction

-. — c ou \z — c.

Si Ton appliquait la même transformation à la fonction

n» ^ yZ* f*,

qui deviendrait

les points s'= d: - étant tous les deux en dehors du cercle infiniment pelit tracé autour de z' ^= o, la fonction w ne changerait pas de détermination en faisant le tour de ce cercle. Donc ici z = oo n'est pas un point de ramification.

On pourrait dire que ce point z*= o est le point où coïncident

les points de ramification des deux facteurs ^j = de w, et

que ces deux points de ramification se neutralisent mutuellement, parce qu'on ne peut faire le tour de l'un sans faire en même temps le tour de l'autre, et que les deux changements de signe simultanés de la fonction w se compensent.

Du reste, pour la fonction (i) w = ^z — c, la présence du se-