DES FONCTIONS MULTIFORMES
cond point de ramification z = oo n'influe en rien sur la marche de la fonction, puisque toute révolution autour de Tun des deux points o et 00 est en même temps une révolution autour de Tautre.
1242. III. En appliquant les mêmes raisonnements à la fonction
on verra de la même manière que z = oo est ou n'est pas un point de ramification de w, suivant que n est impair ou pair, de sorte que, pour 7î= av — i comme pour n= 2V, le nombre total des points de ramification sera toujours 2V.
Ainsi les deux fonctions
^a -h «, 2 -H fit 2* -h «3 3*, ^a -i- £/| 3 -+- ^/j 3* -f • «3 5* 4- (i^ z*
ont Tune et Tautre quatre points .de ramification.
Dans le cas de 7i=2V — i, le contour qui enveloppe le seul point r = 00 sur la sphère peut être considéré comme enveloppant, de l'autre côté, tous les 2v — i autres points de ramification.
1243. IV. Considérons encore la fonction à trois déterminations
«/= y(3— qj[j-Cj)(3— t'a).
En posant
z — c^zzzri c'^i, z — Cj = i\e'P^y z — Cj = a-^cK''»,
w prendra la forme
On voit qu'une révolution autour du point c^ augmente l'argument de w de -^•, deux révolutions l'augmentent de -«• > et trois révolutions l'augmentent de 2Tr, ce qui ramène çv à sa première
valeur. Ainsi, en désignant par a = e ' une des deux racines cubiques complexes de l'unité, si l'on fait n^ révolutions autour de C|, n^ autour de C2, n% autour de C3, çv se trouvera multiplié par
g4 LIVftB VI. — CHAP. m, $ I.
tzi 4 CI
ûc«,+/f,+n,^ c*est-à-dire par un des trois facteurs i, e • , e • , suivant que Ton aura
/îi-h /'t-i- /»3^o, I, ^ (niod.3).
1244. V. Si Ton avait pris
en faisant z = -,9 il viendrait
ou, en posant z'= re^P,
On verrait alors, comme précédemment, que, si Ton lait le tour (dans le sens rétrograde) du point O' du plan antipode [1114],
il!
\\> se trouvera multiplié par e ' , de sorte que c'= o ou 5 = » esl
encore un point de ramification.
1245. VI. En général, si Ton considère la fonction
— étant fractionnaire, O sera un point de ramification, puisque, en
m n posant z =: re'P, on aura
m ^mp
et, si la fraction — est irréductible, w sera une fonction à n dé-
lerminations.
Si Ton pose maintenant z == - et 2'= l'^e'P' , alors
d'où Ton voit que w change encore de détermination lorsque z fait
DES FONCTIONS MULTIFORMES. qS
le tour de s'=o. Donc z'= o ou 3 = oo est encore un point de ramification.
On peut remarquer ici^ comme au n^ 11, que, si Ton considère la représentation sur la sphère, chaque révolution directe autour de z = o est en même temps une révolution rétrograde autour de ^=o; de sorte que, lorsqu'on fait le tour de l'origine, on peut considérer ce chemin comme faisant le tour, dans le sens opposée, du point à l'infini.
1246. VII. Si l'on a
— étant fractionnaire, z^ = o ou 5=00 sera un point de ramifi- /i ^
cation, et si l'on décrit en sens direct un chemin renfermant dans
son intérieur tous les points de ramification Co - • • «^m> on pourra
considérer ce chemin comme entourant le seul point 00 , dans le
sens rétrograde par rapport à ce point.
1247. VIII. Lorsque, dans l'exemple précédent, k des points de ramification Cf, . . . , c^ viennent à coïncider, alors la valeur de w peut se mettre sous la forme
tv
— (3 — Ci)«V^(3 — Cit+i).. .(z— C,„),
et l'on voit qu'une révolution autour de c^ équivaut à A" révolutions autour d'un point de ramification simple ou à une révolution suivant une courbe embrassant dans son intérieur k points de ramification différents.
- Si - est entier, C| cessera d'être un point de ramification.
On voit maintenant sans peine comment on discuterait le cas d'une fonction formée par l'addition de plusieurs fonctions multiformes, ou plus généralement par la combinaison de plusieurs opérations algébriques multiformes quelconques.
fji) LIVBB VI. — GHAP. III, § II.
DES IUTTÉGUALES hultifokmbs.
1248. Étudions maintenant Tautre classe de fonctions multiformes dont nous avons parlé au n^ 1234, celle des fonctions provenant de rintégration d*une fonction algébrique uniforme ou multiforme présentant des infinis.
Soity^(3) une fonction de la variable z, et supposons-la d'abord uniforme et continue à l'intérieur de Taire 2, sauf en certains points C|, C2, . . . de cette aire, où elle présente des infînis proprement dits.
Supposons que Ton fasse suivre à la variable z une ligne continue 3, tracée d'une manière quelconque entre deux points donnés Zo et z, dans le plan des z ou sur la sphère de référence; nous appellerons cette ligne le chemin d'intégration. Si Ton fait la somme des produits de chaque élément dz de ce chemin par la valeur correspondantey*(z) de la fonction, la limite de cette somme sera l'intégrale de la fonction, correspondante au chemin d'intégration 3.
Pour que l'intégration soit toujours possible, il faut que le chemin d'intégration 3 ne passe par aucun point dans le voisinage duquel à une variation infiniment petite dz ne corresponde pas une variation infiniment petite de l'intégrale elle-même, comme cela pourrait avoir lieu si la fonction y(::) devenait infinie en ce point. Nous supposerons toujours que, si le chemin d'intégration contenait un tel point, on l'éviterait en faisant un détour infiniment petit, sauf à discuter l'influence que le sens dans lequel on a fait ce détour peut avoir sur le résultat.
Lorsque le chemin 3 se réduit à une ligne droite, l'intégrale est dite Y intégrale vectiligne de la fonction /(z)rf^, prise entre les limites Zo et z, et nous la représenterons simplement par la notation
f[z)dz.
1249. Si entre la droite Zo z et le chemin 3 il ne se trouve aucun point critique de la fonction f[z)j nous avons vu [1125] que les
