Cours de Calcul tn fi II,, IV

98 LITIB TI. — CHAP. lit, $ II.

pour un chemin quelconque J allant de Zq en z, sera

Ri, /I2, • . • élant des entiers positifs, nuls ou négatifs.

12ol . Lorsque, après avoir fait le tour d'un infini c, la variable z revient à sa première position, Tinlégrale u aura crû de I 9 et, par

suite, elle aura changé de détermination si f n'est pas nul.

Si, après avoir parcouru un chemin Zq c et avoir fait le tour de c sur le cercle infiniment petit, z revient en Zq suivant le même chemin, u aura changé de détermination et décrira, par conséquent, sur son plan ou sa sphère de représentation, une courbe différente de la première. Quand le point correspondant à c est un infini de u, les deux branches de courbe décrites sur la sphère des u partiront du pôle inférieur. Dans tous les cas, la courbe décrite par u se ramifie à partir du point u correspondant à c ; donc ce point c est généralement un point de ramification de la fonction i/.

1252. Des intégrales prises le long d'un contour élémentaire. — Soit c un point critique de la fonction y(^), et considérons le contour élémentaire formé d'un cercle infiniment petit tracé autour de c et d'une droite joignant le point initial Zq de l'intégrale jy[z)dz à un point de ce cercle. On pourra, comme dans le n** 1240, considérer ce contour élémentaire comme la limite d'un chemin composé des deux parallèles infiniment voisines ZqA et Czo, et de l'arc ABC {fig* 97), infiniment peu différent de la cir-

conférence entière. L'intégrale prise le long du contour élémentaire sera la limite de la somme des trois intégrales

/(.,A)H./(ABC)-f-/(GzJ.

DBS INTÉGRALES MULTIFORMES. 99

Supposons d'abord que le point critique c ne soit pas un point de ramification. Alors, en revenant, après avoir fait le tour du cercle, à une position C infiniment voisine de A, la fonction J'{z) reprendra, à la limite, la même valeur qu'en A, et les éléments de l'intégrale le long du chemin Czq seront égaux et de signe contraire à ceux de l'intégrale le long de ZqA. Donc les deux intégrales /[zqA) eif[Czo) se détruiront, et l'intégrale prise le long du contour élémentaire se réduira à la seule intégrale y(ABCA), c'està-dire à l'intégrale i prise autour de c, comptée positivement ou

négativement selon que le cercle sera parcouru dans le sens direct ou dans le sens rétrograde.

1253. Supposons maintenant que f{z) soit une fonction multiforme, ayant un point de ramification en c. L'intégrale prise le long du contour élémentaire, parcouru dans le sens direct, sera, comme précédemment, la limite de la somme

/(3oA)-t-/(ABC)+/{Czo).

Or, en passant de A au point infiniment voisin C, la fonction ^(2) aura changé de détermination, et, si elle est partie de A avec la valeur y< (z), elle aura en C une autre valeur yi (^j- On aura donc

Donc la somme y(^oA)-|-/(Czo) aura pour limite

£[Â[z]-Mz]\dz,

ce qui ne s'annulera pas, comme dans le cas précédent. Si Ton a f2{z) = — f^ (2), cette somme sera égale à

Jf^{z)dz = — Q: / A{z)dz.

Quant à l'intégrale y (ABC), elle peut, suivant la nature de la fonction y, être ou nulle ou différente de zéro.

Si l'on avait parcouru le contour élémentaire dans le sens opposé,