DES INTEGRALES MULTIFORMES. ICI
termination àe f{z). Après que Ton aura intégré le long de (c), f{z) aura changé de signe, el f[d), calculée en partant de la détermination — f^ [z)y aura pour valeur -+- F. Donc y*(c), suivie de f{c!)y donnera pour valeur a T. On conclut de là que, si Ton fait une série de n intégrations consécutives en parcourant tour à tour d'abord le contour (c), puis le contour (c'), on aura pour résultat
Si, au lieu de commencer cette série d'intégrations par le contour (c), on avait commencé par ({/), le résultat aurait été — /îF.
Exemple, — Soit l'intégrale
dz
La fonction sous le signe y* a deux points de ramification, +c et — c. Supposons que le radical parte de z = o avec la valeur -f- c. Si l'on intègre le long du cercle infinitésimal qui entoure le point c, en posant
c — z=z re*^\ d'où dzz= — re*/' . / dp,
rintégrale sera
X slre'P[ic-re'P] J^
^ic — re'^
et sa valeur s'annulera évidemment avec r. L'intégrale circulaire étant nulle, on pourra donc appliquer le résultat précédent. Donc, en intégrant n fois de suite le long des contours respectifs (-f- c), ( — c), (H-c), . . . , ([ — i]"~*c), on aura pour intégrale totale
r dz
nV =^ in I — •
Au contraire, si l'on avait pris les contours élémentaires dans l'ordre
(-^)^ i-^c), i-c). ..., ([-irc),
la valeur de l'intégrale totale aurait été — nT.
On voit, dans ce cas, que, sans changer l'intégrale rectiligne
lOa LIVBE VI. — CHAP. III, § II.
f{zoZi), on pourra augmenter ou diminuer l'intégrale curviligne f[z)dz d'un multiple quelconque de T.
- Lorsque deux points de ramification jouissent des propriétés des deux points c, c/ dont nous venons de parler, nous leur donnons le nom de points de ramification complémentaires.
EXEMPLES d'iNTÉGKILES PÉRIODIQUES.
1256. I. Soit l'intégrale
La fonction — ayant un infini pour z ^ o, ce point sera un point
critique de Tintégrale u.
Si nous posons
z = r&P^ d'où dz = ire' P dp, — =z idp,
rintégrale circulaire prise autour du point z ^=o sera
i dp z= i/tt.
Ce sera là la période de l'intégrale proposée, dont la valeur géné-
— î plus un multiple quelconque, positif ou négatif, de cette période.
/dz ^ a deux points critiques, correspondants k z = ±i. En posant c=dii et z — c = re*^, on aura, sur un cercle décrit autour de c,
dz = ire' P dp,
I — 3'=:c*— 3*= (c-h3)(c — «) =— [ic-\- re*P)re'P;
EXEMPLES D*INTÉGRÀLES PÉRIODIQUES. I03
donc [H29]
r=: 2 Z TT lim [Z — CI -; ;; = — 2 / TT =
Donc les deux périodes de l'intégrale sont égales au signe près ; par suite, la valeur générale de l'intégrale prise entre les limites zq et z sera
/ii et 712 étant des entiers quelconques, ou, plus simplement,
l'entier n étant égal au nombre de fois que le chemin d'intégration a entouré (dans le sens direct) le point — i, moins le nombre de fois qu'il a entouré le point -h i, les tours faits dans le sens rétrograde devant être comptés négativement.
On verrait de même que la valeur générale de l'intégrale I j
est
C' dz
«TT
Cette intégrale et la précédente sont des cas particuliers de l'intégrale
Jo ^
qui a les deux points critiques
c, = -4- e^'\ c- = — er-"^.
En posant i — e^'^z = re'P, l'intégrale prise autour de c< ,
dp
r^^ — e''^.îre''Pdp __ i .^ ^^ dp
re'f' '
aura pour limite correspondante à r = o
— «7re-'«,
lo4 LIVRB VI. — CHAP. III, § III.
et, de même, rintégrale prise le long de l'autre point critique sera
Ces deux périodes étant égales et de signes contraires, on en conclut que la valeur générale de Tintégrale sera l'intégrale rectilignc, plus un multiple quelconque de i7re~'*.
En faisant tour à tour a = o et a = -» on retrouvera les résul-
tats relatifs aux deux intégrales précédentes. 12S8. III. Soit l'intégrale
mz. -4- n
/mz -\- n
que l'on peut mettre sous la forme
mz H- n
{z — Ci)[z — Ci)
dz.
Les intégrales prises autour des deux points critiques C|, Cf auront pour valeurs respectives
Jf* mci -\- n . r mc^ -f- n = - 2£7r, I = 2«7r.
L'intégrale a donc deux périodes différentes tant que, les deux quantités C|, c^ étant différentes, m ne sera pas nul. On a donc ici un exemple d'une intégrale à double période dont la valeur générale est égale à l'intégrale rectiligne augmentée de multiples quel-
con
ques ]U| / -+ IJL2 j des deux périodes.
Je, Jc^
Si m = o, alors les deux périodes, étant égales au signe près, n'en feront plus qu'une seule, comme dans le cas précédent.
1259. IV. Considérons maintenant l'intégrale d'une fonction multiforme
r^ dz^
Jo i/l — 3*
Les points de ramification z = -h i et z = — i sont en même temps des infinis de la différentielle.
INTEGRALE CIRCULAIRE. Io:>
Si nous posons
z — c =. re'P,
c représentant rfc i, l'intégrale prise autour de c aura pour valeur
'2^ ir^P.ln - /*^îr À^f"
et, pour r infiniment petit, cette expression a évidemment pour limite zéro. Donc ici les deux intégrales circulaires sont nulles.
Si maintenant on suppose que le radical parte du point z =0 avec la détermination -+-1, Tintégrale rectiligne prise de z = o à z = I — r aura, pour /• infiniment petit, une certaine limite, que nous désignerons provisoirement par x.
Après que z aura fait le tour du point -j- i , \]i — z'^ aura changé de détermination, et, d'après ce que nous avons vu au n® 1255, l'intégrale prise de -h i à oaura encore la valeur îc, de sorte que l'intégrale relative au contour élémentaire (-h i) aura pour valeur
2x, lorsqu'on suppose à ^i — z^ la valeur initiale -{- i .
On verrait pareillement que, dans la même hypothèse, l'intégrale relative au contour élémentaire ( — i) aura pour valeur 2*/.
On conclut de là, comme au n** 1255, que, si l'on parcourt alternativement les deux contours élémentaires, en prenant +1 pour
valeur initiale de \j\ — z'^j la somme des intégrales élémentaires, après n parcours, sera =h 2/23C, suivant que l'on aura commencé par le contour (-h î) ou par le contour ( — i).
Si l'on parcourt le même contour, (-Hi) par exemple, m fois consécutives, le résultat sera, d'après ce que nous avons vu,
c'est-à-dire 2îc ou zéro, suivant que m sera impair ou pair. Après
ces m parcours , v^i — z^ se trouvera multiplié par ( — i)*" ; si l'on fait maintenant Ttiy fois le tour de ( — 1), on ajoutera à la valeur précédente
ce qui donnera en totalité
'"•*-'"iz,
