LIVRE VI. — CHAP. III, § III
Si Ton fait ensuite m^ fois le tour de (+ 1)) le radical partant de o avec la valeur ( — ij'''+'"i, on ajoutera à la valeur précédente ( — !)'»+'"■ [x — (— i)'"»^'-], ce qui donnera en totalité
Et ainsi de suite.
On voit que cette expression représentera toujours un multiple pair de x, et que, de plus, on pourra toujours disposer du nombre des changements alternatifs de contours et de la parité de chacun des nombres //i, wii , . . . , de manière que la partie de l'intégrale ajoutée à Tintégrale recti ligne soit égale à un multiple quelconque de sà'/..
1260. Il est facile de déterminer cette intégrale 2x, en nous appuyant uniquement sur le théorème de Cauchy [1124]. En effet, cette intégrale est égale à l'intégrale prise le long d'un contour fermé quelconque, renfermant dans son intérieur le seul point critique -h i . Prenons pour ce contour celui d'un demi-cercle de centre O, de rayon /* infiniment grand, et ayant son diamètre dirigé suivant l'axe des y. L'intégrale prise le long du demi-diamètre à partir de O, suivant le sens direct, sera, en posant z:=iy,
Ii^ désignant une valeur positive quelconque. L'intégrale prise le long de la demi-circonférence sera, en posant z = re^Py
7t TT
re'Pidp . T ^P
expression qui, pour /• infîniment grand, a pour valeur dz t: -H £ , e étant infiniment petit. La troisième partie de l'intégrale sera
1i^ ayant la même valeur que ci-dessus. En égalant la somme de ces trois intégrales à l'intégrale positive 2x, prise le long du contour
INTEGRALE CIRCULAIRE. I07
(~f- i), on aura
a*/ = — /7i*± TT -h (J zp iA\
d'où, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires, et négligeant Tinfiniment petit J, on déterminera les signes ambigus, et Ton aura
rXK =: ~, X = — •
1261. Ainsi l'intégrale prise le long d'un des deux contours élémentaires est égale k ±û. Si, avant de former l'intégrale rectiligne
Jo i/l — **
on parcourt un seul contour élémentaire, et que l'on intègre ensuite rcctilinéairement de o à ir, le radical ayant changé de détermination, l'intégrale rectiligne changera de signe, et l'on obtiendra pour résultat
Si, au lieu d'un seul contour, on en parcourt deux, soit deux fois le même, soit deux contours différents, le radical reprenant son premier signe, on obtiendra pour l'intégrale totale
c'est-à-dire une des trois valeurs
En continuant ce raisonnement, on verra qu'à une limite supé* Heure donnée z correspondent des valeurs de l'intégrale des deux formes
-h W 4- 2/n7r, — l£ -|-(2/W -h IJTT,
ou, ce qui revient au même, de la forme
nir-^- (— l)'*i/.
1262. V. Étudions enfin l'intégrale elliptique de première espèce
Jo R
dz
