I08 LIVRB VI. — CHAP. III, § III
OÙ Ton a posé
k^ étant un nombre positif et moindre que l'unité.
Les infinis de la difTérentielle, li: i et ih -, sont en même temps
des points de ramification, comme dans l'exemple précédent.
Comme les points -f- i et — i se trouvent respectivement sur les droites qui joignent Torigine zéro aux deux autres points critiques
-+- -r et — -r? il faudra, dans les contours élémentaires relatifs à A- A-
ces derniers, éviter les premiers par un détour infiniment petit, que nous supposerons fait suivant deux demi-circonférences situées la première au-dessus, la seconde au-dessous de l'axe des jr, de manière à laisser l'un et l'autre des points ±: i sur sa droite, en
allant de o à d= -•
Cela posé, imaginons que R (^) parte de zéro avec la valeur 4- i et parcoure le contour élémentaire (-hi). L'intégrale prise de zéro à i — /',
croît continuellement pour /• décroissant. Le premier facteur esi
toujours compris entre i et --^^-- • le second a pour limite --
Donc l'intégrale a une limite finie, plus grande que -• Nous désignerons cette limite par
Jo v/(i— >)(! — ^".r«j Faisons maintenant
si — z — rciP, d'où R(3)r=: r«c»''v'Z,
Z désignant un polynôme du troisième degré qui n'est pas nul dans le voisinage de z = -{- i. Il viendra
- -ip dz r^e* ifip
INTÉGRALE ELLIPTIQUE. lOQ
et, par suite, l'intégrale circulaire
'"dp
tendra, pour /• infiniment petit, vers la limite zéro.
Après avoir fait le tour du point -h i, /? ayant crû de 2 7t et Z
a^'ant repris sa première valeur, le facteur e^''' aura changé de signe, et, par suite, R(z) aura changé de détermination. Donc
^j-T sera égale en grandeur et en signe à l'intégrale
— T— r = K, et, par suite, ^{z) reviendra en O
la valeur — i, et l'intégrale prise le long du contour élémentaire (-f- 1 ) sera égale à -h aK [1255].
On verrait de même que, si l'on fait le tour du point — i , R(z ) partant toujours de O avec la valeur -f- i, l'intégrale reviendra en O avec la valeur — aK.
Si l'on désigne par u la valeur de l'intégrale rectiligne
avec
où R(^) part de O avec la valeur -h i, et que, au lieu de commencer par décrire le chemin rectiligne O^, on décrive d'abord le
contour élémentaire (4- i), l'intégrale I se composera de l'inté-
grale y(4- i) =:: aK, plus l'intégrale rectiligne, où R(^) partira cette fois de O avec la valeur — i, et qui aura, par suite, pour valeur — u. Donc l'intégrale totale sera égale à aK — u.
Si Ton parcourt deux fois de suite le contour (-f- i), la seconde intégrale prise le long de ce contour détruira la première, et l'in-
tégrale f redeviendra égale à u.
Mais si l'on parcourt d'abord une fois le contour (-f- i), puis une fois le contour ( — i), la somme des deux intégrales correspondantes sera + ^K.» ^l» ^{^) ^^^^nt revenu en O avec la valeur H- i,
IIO LIVftB VI. — CHAP. III, f III.
l*intégrale i aura pour valeur 4K. -4- u. Et ainsi de suite, comme
Je* dx I — - - *
1263. Considérons maintenant le contour élémentaire ( + t)'
Nous avons dit que la partie rectiligne de ce contour devait faire un détour pour éviter le point -+- i . Apprécions Tinfluence de ce détour.
Le point Zy arrivé en i — r, s'écarte alors de la droite Oi et prend une valeur i -\- r&P^ p devant varier de n à o, en contournant 4-1 dans le sens rétrograde. D'après cela, le facteur yji — z
/dz - /-- , ' prise le
- r^^ dp
long du demi-cercle, deviendra de la forme ±i /•* I — -;r~ » Z étant
le même polynôme que tout à Theure.
Le dénominateur y Z ne change pas de signe pendant que z varie de I — r à 1 -h /' ou que p varie de tt à o. Son signe sera -h si Ton suppose, comme nous pouvons le faire, que l'autre facteur
^i — z soit parti de O avec la valeur -+- i . Dans ce cas, pour p = î:, \Ji — z = \j — re^P = ±1 yfî' ii cos - — sin - J doit être réel et positif, ce qui exige que l'on prenne le radical avec le signe — . Dès lors,
V^ 1 — 3 = — ^rii cos - — sin - j
prendra, pour z = i -t- r ou /? = o, la valeur — iyjr, c'est-à-dire une valeur imaginaire négative de la forme — t'A'. Le radical
R(2) sera donc aussi de la même forme entre -f- i et -|- y? et, par
dz
suite, :^^: sera dans cet intervalle de la forme -h lA^. Il en sera donc de même de l'intégrale
INTEGRALE ELLIPTIQUE. III
qui tend, comme il est facile de le voir, vers une limite finie. Nous désignerons cette limite par ( ' )
Donc la valeur de l'intégrale sur la partie rectiligne du contour (H-i)sera(«)
^ dz
Si l'on achève de parcourir le contour élémentaire ( -+- 7 ) en
revenant en O par le même chemin rectiligne, c'est-à-dire en évitant -{- 1 au moyen d'un demi-cercle supérieur, on verra qu'ici encore l'intégrale circulaire sera nulle et la seconde intégrale
rectiligne f sera égale à la première. Donc l'intégrale relative
J contour élémentaire ( -*- 7 ) 21 pour valeur (^ )
au
-^j] =2K-4-2fK'.
(') Si l'on pose A" = i — A* et x« = ^, — ,, l'intégrale f ^^ deviendra
K' étant ce que devient K lorsqu'on remplace A par y. (* ) Si l'on avait évité le point h- i au moyen d'un demi-cercle situé au^dessotu de l'axe
Ox, on aurait eu pour l'intégrale semi-circulaire une valeur de sens contraire; Z au-
rait été de la forme -hih* entre •+-i et -t-Tiet l aurait eu pour valeur — iK',
k d'où
(') Si l'on avait suivi les deux fois le demi-cercle inférieur, on aurait trouvé cette intégrale = a K — 2 ÎK'.
l'où r =K — iK',
112 LIVRK VI. — GHAP. III, § III.
Le contour élémentaire { — 7 ) étant symétrique du contour
( "*"7 ) P**^ rapport à l'origine, / ( — j j sera égale et de signe contraire à / ( "*" 7 ) » ^^ P^^ suite, sa valeur sera — 2K — 2/K'.
1264. Supposons actuellement que z, partant du point O, suive l'axe des x positifs, en passant au-dessus des deux points de ramification 4-1 et H- T^ jusqu'à une distance infiniment grande r;
puis, qu'il décrive autour de O un quart de cercle de rayon r, jusqu'à la rencontre avec l'axe des j' au point z = ir; et enfin qu'il le vienne en O en suivant l'axe des^. Le contour 'suivi ne renfermant dans son intérieur aucun point critique, l'intégrale prise le long de ce contour devra être nulle.
Or, de O à -? l'intéffrale est égale à K 4- iK'. De -7 à la valeur
infiniment grande r, l'intégrale difl'érera infiniment peu de sa limite
qui est finie et réelle, le produit (1 — ^^)(' — A-^^^) étant positif
pour -2 ]> 7» et dont nous désignerons provisoirement la valeur
par G.
Le long du quart de cercle, R(3) sera de la forme
$ étant infiniment petit pour r infiniment grand; par suite,
s'annule pour r = 00 . Donc l'intégrale arrivera au point -t- tr, sur
INTÉGRALE ELLIPTIQUE. Il3
Taxe desj^', avec la valeur
L'expression précédente du radical, A r2e*'/'(i -f- 5), montre que,
lorsque p croît de -> le radical est multiplié par e'* = — i, et par
suite il change de signe. Gomme il part de O suivant Taxe des j avec le signe -+- et qu'il est réel le long de cet axe, il devra être négatif pour z = Vinfini réel ; donc G est négatif. De ira O, l'intégrale croîtra de la quantité
L,tR(^)~ Vo
idy
V^(i-^-J')(«-hA-V*)
dont la valeur sera de la forme — iH, H étant réel et positif.
Donc l'intégrale prise le long du contour fermé tout entier sera
et, cette intégrale devant être nulle, on en conclura les valeurs de (j et de H, savoir ( ' )
dz
]â65. Désignons, pour abréger, par
xi=: aK, x,= 2K -f- 2/K.'
les intégrales correspondantes aux contours élémentaires (-r i) et f-H-j j ce dernier ayant été choisi, comme nous l'avons dit, de manière à passer au-dessus de + i ; les intégrales relatives aux contours ( — i) et ( — t)» symétriques des premiers par rapport
(*) On obtiendrait directement les valeurs de ces deux intégrales en posant, dans G, H. — Cours de Cale* in fin., IV . O
Il4 LIVRE VI. — CHAP. III, § III.
à O, seront — X| et — x^, la fonction R(^) étant supposée, pour chacune de ces intégrales, partir de O avec la valeur -h i. En désignant toujours par
rintégrale rectiligne allant au point z, Tintégrale prise le long d'un chemin entourant une seule fois le point -f- 1 sera égale
Si Ton fait deux fois le tour de (-h i), l'intégrale sera
Xj — ^X| li^ = li.
En général, si Ton fait m fois de suite le tour de (+ i), l'intégrale sera
Si Ton fait une fois le tour de (-+- 1). puis une fois le tour de ( — i), l'intégrale deviendra
Si l'on répète m fois le parcours alternatif des deux contours élémentaires, l'intégrale sera
-f- 2/wxi -h u on — 2/wx| -h «,
suivant que Ton aura commencé par (-f- 1) ou par ( — i).
Si l'on parcourt alternativement les deux contours, de manière à décrire m -h 1 fois le premier et m fois le second, l'intégrale sera, suivant que Ton aura commencé par (-+- i) ou par ( — 1),
± (2m -4- i)xj «.
On aura des résultats analogues pour les contours ( d= - j •
On^voit par là que, si l'on parcourt les quatre contours chacun un nombre de fois suffîsant et dans un ordre convenable, on obtiendra pour l'intégrale résultante une valeur de la forme
INTÉGRALE ELLIPTIQUE. Il5
OU, en mettant pour it| et X2 leurs valeurs,
m eln étant des entiers quelconques, positifs ou négatifs.
En particulier, l'intégrale rectiligne u conservera son signe si le nombre m -4- zi est pair. Si on le représente par ap, l'expression générale ( i ) deviendra
(?.) 4aK + 2///K'-i-£/.
Donc, si l'on arrive au point z après avoir parcouru une ligne entourant alternativement 2|!x — n fois chacun des deux points -f- 1
et — I , puis n fois chacun des deux points -H 7 et — -> l'intégrale obtenue sera égale à l'intégrale rectiligne augmentée de
4fxK4-2/ïiK',
2fA — n et n étant des nombres positifs ou négatifs, suivant que les parcours commencent par les chemins (-f-i) ou ( — i), ( + t)
ou(-i).
Donc à un même point z correspondent des valeurs en nombre
infini de l'intégrale / . 1 différant entre elles par des multiples
quelconques de 4K. 6t de 21K'. Ces deux quantités constantes sont
dites les périodes de l'intégrale 1 0-7— 7 > et cette intégrale est dite doublement périodique,
1266. On peut donner de cette double périodicité une représentation géométrique très-simple.
Supposons le plan partagé en bandes verticales de largeur 4K. par des parallèles à Oj tracées symétriquement de part et d'autre de cet axe, et en même temps partagé en bandes horizontales de largeur 2R' par des parallèles à Oj: tracées symétriquement de part et d'autre de cet axe. De cette manière, le plan sera divisé en rectangles égaux, dont l'un aura pour centre l'origine, et dont les dimensions seront 4K. et 2K'.
Il6 LIVRE VI. — CIIAP. III, § III.
La formule (2) du numéro précédent nous montre qu'à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u différant entre elles de multiples quelconques de 4^^ ^^ situées par conséquent sur une même parallèle à Ox, de manière qu41 s'en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes verticales.
Elle nous montre aussi qu'à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u différant entre elles de multiples quelconques de 2iK^ et par conséquent rangées à la distance 2K' les unes des autres sur une même parallèle à O^, de manière qu'il s'en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes horizontales.
Donc dans chaque rectangle de base 4^. et de hauteur 2K' se trouve une des valeurs de u données par la formule (2), et une seule.
Si l'on suppose maintenant, dans la formule (i), que /w-f- n soit impair et égal à 2|:z-+-i, à la même valeur de z correspondront toutes les valeurs de l'intégrale données par la formule
(3) 4pK-+-2mK'-h2K — a,
et l'on verra de même que dans chacun des rectangles précédents se trouvera une des valeurs de l'intégrale données parla formule (3), et une seule.
Donc dans chacun des rectangles en question se trouvent deux valeurs de u correspondantes à une valeur de z quelconque, et comprises dans la formule (i). Nous verrons plus lard que ce sont les seules. '
Il est aisé de reconnaître que les deux, valeurs de u contenues dans chaque rectangle sont situées symétriquement par rapport au centre du rectangle, la position de ce centre étant déterminée par l'expression (4/^ H- 2)K4- (2/1 -f- i)iK'.
Remarquons que Ton arriverait à la même représentation en supposant que l'origine O, au lieu d'occuper le centre d'un rectangle, en occupe un des sommets. Dans ce cas, les valeurs représentées par les formules (2) et (3) seraient respectivement symétriques, non plus par rapport aux centres des rectangles, mais par rapport à leurs sommets.
