DES FONCTIONS INVERSES DES INTÉGRALES MULTIFORMES

1267. En considérant, dans les deux paragraphes précédents, les intégrales dont les différentielles ont des points critiques situés à une distance finie de l'origine, nous avons vu que la valeur de ces intégrales ne dépend pas seulement de la limite supérieure z de rintégration, mais encore du chemin parcouru pour arriver à cette limite. Nous avons vu, de plus, que les différentes déterminations de l'intégrale qui correspondent à la même limite z sont égales à la valeur rectiligne combinée par addition ou soustraction avec des multiples quelconques des intégrales prises le long des divers contours élémentaires qui entourent les points critiques de la différentielle, intégrales que nous avons appelées les périodes de rintégrale proposée.

Il s'agit actuellement d'étudier les propriétés de la limite supérieure z, considérée à son tour comme fonction de l'intégrale u. Dans les exemples qui nous ont déjà occupés, nous verrons que cette fonction z=.^[u) est non-seulement une fonction périodique de M, c'est-à-dire une fonction reprenant la même valeur lorsqu'on augmente son argument u de multiples quelconques des

diverses périodes de l'intégrale u= j f[z)dz, mais qu'elle sera,

en outre, une fonction monogène et uniforme de u lorsqu'on fera varier u dans toute l'étendue du plan.

La raonogénéité de la fonction z = ^[u) résulte immédiatement

de ce qu'elle a une dérivée déterminée, -7- = -;---? pour toute valeur

de z, et par suite pour toute valeur possible de u.

Il suffira, pour établir son uniformité, de constater que les diverses valeurs de la fonction directe m, correspondantes à toutes les valeurs de z^ remplissent toute l'étendue du plan et la remplissent une seule fois, sans laisser de vides et sans que des valeurs correspondantes à des valeurs de z différentes puissent se superposer.

Enfin, nous n'aurons besoin de faire cet examen que pour les

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seules valeurs de u correspondanlcs aux divers chemins rectilignes de Zj et de montrer que ces valeurs remplissent complètement et une seule fois une certaine étendue du plan, laquelle se répétera indéfiniment et sans superposition ni lacunes, de manière à couvrir toute rétendue du plan, lorsqu'on aujjmentera toutes les valeurs de u qu'elle contient de multiples quelconques des périodes de cette intégrale.

1268. Soit une fonction y (z) admettant pour période la constante A, c'est-à-dire telle que Ton ait, quel que soit le nombre entier m,

Si l'on partage le plan en bandes par des droites parallèles, représentées par l'équation

2 = H 4- /7iA,

où l'entier m prend toutes les valeurs possibles, alors à chaque système de valeurs de /(r) relatif à un ensemble de points situe dans une quelconque de ces bandes correspondra dans chacune des autres bandes un système identique de valeurs relatif à un second ensemble de points superposable au premier.

On pourra toujours supposer que la relation (i) n'ait lieu que pour des valeurs entières de m\ car, si elle était vérifiée, quel que

fût l'entier m, par des valeurs de la forme z -\ A, on remplacerait

la période A par A'= - > et la relation reprendrait alors la forme (i).

Une fonction est doublement périodique lorsqu'il existe deux constantes A, B telles que l'on ait, quels que soient les entiers m, n, la relation

(a) /(«-hmAH-/îB)=:/(3).

On voit, comme tout à l'heure, que, si l'on mène toutes les droites représentées par Téquation

s=: H -h mA-h /ïB, ces droites partageront le plan tout entier en parallélogrammes