INVERSION DES INTÉGRALES MULTIFORMES. I I

ayant leurs côtés égaux en grandeur et en direction aux droites qui représentent les périodes A, B, et dans chacun desquels les mêmes séries de valeurs de y (z) se reproduisent avec une disposition identique.

Nous donnerons, pour abréger, à ces bandes ou à ces parallélogrammes, relatifs à la périodicité simple ou double, le nom d'aires élémentaires .

1269. Une fonction simplement ou doublement périodique, qui est uniforme et continue dans chaque aire élémentaire, admet au moins un infini dans Tintérieur de cette aire; car, si elle restait finie dans toute cette aire, elle le serait aussi dans tout le plan, jusqu'à l'infini inclusivement. Donc[H37] cette fonction se réduirait alors à une constante.

La fonction y(z) étant uniforme et continue, sa valeur réciproque

^, ■ le sera aussi, et, par suite, devra admettre aussi un infini. Donc

la fonctiony(z) devra admettre au moins un zéro dans chaque aire élémentaire.

Donc, si une fonction simplement ou doublement périodique, unijbrme et continue, ne devient ni nulle ni infinie dans une aire élémentaire quelconque, cette fonction se réduira à une constante,

1270. I. Commençons par l'étude de la fonction inverse de l'intégrale

et considérons d'abord les valeurs de u correspondantes à toutes les valeurs réelles de z.

Nous avons vu [1256] que le point critique z= o de la différentielle est un point de ramification de l'intégrale u, et que la période de cette intégrale est l'intégrale prise le long du contour élémentaire partant du point initial -{- 1 et entourant z = o, intégrale dont la valeur est aiTr.

Si l'on fait varier z sur l'axe des x positifs depuis une valeur infiniment petite jusqu'à une valeur infiniment grande, il est aisé de voir que l'intégrale rectiligne u prendra toutes les valeurs réelles

liO LIVftB VI. — CH A P. III, S IV.

depuis — oc à -hoc . En eflfel, si l'on fait varier z en progression j;éométrique, u variera en progression arithmétique ; car il résulte du théorème d^addition démontré au n^ 827 que Ton a, en posant

Il = F(^),

Ot¥[z) est positif ou négatif, suivant que z est > ou <^ i ; donc, s'\ n croît jusqu'à l'infini, z" variera de i à -h oo ou de i à o, tandis que ¥[z" \ variera de o à zh ao , et réciproquement.

La fonction iis= F(z) croîtra donc toujours d'une manière continue, et remplira complètement et une seule Jois l'axe des abscisses réelles dans le plan des ii, lorsque z variera de o à 4- oo . Donc, réciproquement, z = 'i^[u) sera une fonction uniforme et continue de u pour toutes les valeurs de cette variable de — oo à -|-oo . Autrement dit, tandis que le point u décrira d'une manière continue l'axe Ox de — oo à -h oo , z = '\[u) décrira d'une manière continue l'axe des x positifs.

1271. Faisons maintenant décrire à z le chemin rectiligne parlant de -4- I et comprenant l'axe des x négatifs. Ce chemin passant par le point critique z = o, nous éviterons ce point au moyen d'un demi-cercle décrit du centre O et situé, par exemple, au-dessus de OjT. En posant

X^ dz — > pour z négatif et = — r/, se composera d'abord

de l'intégrale

puis de rintégrale semi-circulaire

/TT