INVERSION DU LOGARITHME

et enfin de l'intégrale

/rî=x"?--i-''>-

En réunissant ces trois parties , on trouve, pour la valeur rectiligne <le rintégrale correspondante à la valeur réelle et négative z = — J ^

'] = f^ 'j = V{z^]'-^rn (>).

Ainsi, à toutes les valeurs complexes de ii comprises dans la formule iTT-hWo, Mo variant de — oo à -4-00, correspondent toutes les valeurs réelles et négatives de z = ip ( m ), depuis o jusqu'à — 00 . En d'autres termes, le point z décrira l'axe des x négatifs, tandis ([ue u décrira, de — 00 à H- 00 , une parallèle à Ox^ située à la distance -h^r de cet axe.

1272. Faisons maintenant décrire à z une droite ^= i -hre'^, partant du point initial z =H- i de l'intégrale, et faisant avec Oo: l'angle constant p. On aura alors, pour l'intégrale prise suivant cette droite,

__ r^àz r'* e'Pdr

"""J, ~^~Jo ï^"^'^'

Cherchons la forme de la courbe décrite par cette intégrale, lorsque r varie de o à 00 .

La tangente à la courbe u fait avec Oj: un angle égal à l'argument de la différentielle

du = dr.

I ■+- réP

Cet argument est égal à l'argument;? du numérateur, moins l'argument du dénominateur i -f- re^P, Ce dénominateur est représenté

par la droite OM = Oi -j- i M {^fig* 98), et son argument par l'angle I OM ; et il est facile de voir que, tandis que M se déplace depuis le point I jusqu'à l'infini sur la droite donnée, OM passe de la direc-

(*) On aurait trouvé F(s')= — iiz si Ton avait tracé le demi-cercle au-dessous de Qjr.