LIVRE VI. — CHAP. III, § IV

tion Ox à une direction parallèle à iM. Donc Targument de du

Fiff. 98.

varie depuis p — o ou p jusqu^à p — /; ou zéro, et par suite la tangente à la courbe u est, au départ, parallèle à 1 M, et, quand le jpoint s'éloigne à Tinfîni, elle tend à devenir parallèle à Ox.

Dans rintervalle entrer = o et r = -h 00 , Tangle xOM croissant constamment, p — xOM diminue, d'où il résulte que la direction de la tangente à la courbe m va en se rapprochant de la direction O.v et que la courbe tourne constamment sa concavité vers Taxe Oa:.

Si Ton considère le prolongement de la droite correspondant aux valeurs négatives de r, Tangle i OM prendra des valeurs négatives en variant de o kp — tt. L'argument du numérateur étant p — TT, puisque /' est négatif, l'argument de rfa variera donc depuis p jusqu'à zéro, et Ton voit que la tangente à la branche correspondante de la courbe u tend à devenir parallèle à l'axe des x positifs.

Remarquons maintenant que, si l'on substitue au chemin recti-

ligne iz le chemin formé par la portion ix = r prise sur Taxe des X et par l'arc de cercle .rz, décrit du centre i avec le rayon r entre l'axe Oj: et la droite iz, l'intervalle entre les deux chemins ne contenant aucun point critique, l'intégrale ne changera pas de valeur. On aura donc

dp

(') Au lieu de considérer r comme variant négativement, on aurait pu remarquer que, riotégrale u ne changeant pas quand on change r en — r et ;» en ?r — p, tout se passe symétriquement do part et d'autre de Ox^ de sorte que l'on (>eut.se contenter d'étudier ca qui se passe au-dessus de cet axe.

INVERSION DU LOGARITIIMK. 123

La première de ces deux intégrales est réelle et varie, pour r positif, de o à H- oo . La seconde intégrale, qui peut s'écrire sous la forme

a, pour r infini, la valeur ip. De là il est facile de conclure que la distance du point u à Taxe réel a pour limite la valeur p. Donc la courbe u a une asymptote parallèle à Ox, à la distance -f-/; de cet axe. On verrait de même qu'elle a une seconde asymptote aussi parallèle à Ox et située au-dessous de Ox, à la distance — ( tt — p), La courbe u est donc comprise tout entière entre deux parallèles à Ox, à la distance tt Tune de Tautre.

Lorsque p varie depuis o jusqu'à tt, l'asymptote supérieure variera depuis l'axe des x jusqu'à la distance t: au-dessus de cet axe, et l'asymptote inférieure depuis la distance — tt au-dessous de Ox jusqu'à Taxe Ox lui-même. Donc toutes les courbes u seront comprises dans une bande de largeur arr, dont la ligne médiane est Ox.

Si l'on suppose maintenant la limite supérieure /•=!, l'intégrale u deviendra

que l'on trouve aisément égale à

l(>g(l -i-c.is/j) + — •

Si l'angle p est obtus, la partie réelle devient négative ; si p tend vers la valeur tt, la partie réelle tend vers — oo , la partie imaginaire restant finie. Donc, pour p infiniment voisin de tt, la courbe sera toujours comprise entre l'axe O x et la droite qui joint l'ori-

gine avec le point — oo H ? de sorte que, pour une abscisse

négative finie, sa branche inférieure tend à se confondre avec l'axe des X négatifs. A partir de l'abscisse négative maximum, la courbe revient dans le sens des x croissants et s'approche indéfiniment de son asymptote. Pour p aigu, on a un système de courbes disposé symétriquement au précédent par rapport à l'axe des x.

lai LIVRE VI. — CHAP. III, § IV.

1273. Si Ton fait varier/^ d^une manière continue, il est aisé de voir que les courbes u varieront d'une manière continue et ne se couperont pas.

En eiïety si nous donnons à ^ un accroissement infiniment petit et positif d/;, le s, pour la même valeur de r, prendra un accroissement $z de direction perpendiculaire à la droite i z, et l'inté-

-^ croîtra de 5i/ = -» dont l'argument est égal à celui de du

augmenté de -» et dont le module a une valeur infiniment petite

et différente de zéro en même temps que la valeur de Sp. Donc la distance des deux courbes u et m + $u est infiniment petite avec $p, et, comme elle est comptée sur une perpendiculaire à ces courbes dirigée du côté de la convexité de la courbe u, les deux courbes ne peuvent se rencontrer.

Il résulte de là que l'ensemble des courbes u remplit complètement et une seule J'ois toute la portion de plan comprise dans la bande de largeur sstt qui s'étend symétriquement de part et d'autre de l'axe Ox.

Donc, dans l'intérieur de cette bande, il passe, par un point donné, quelconque u, une courbe u et une seule, et, par suite, à toute valeur de u correspond un chemin rectiligne déterminé de la variable z et un point déterminé sur ce chemin. Donc enfin, dans cette bande, la variable z est une fonction mono^ène, uniforme et continue de la variable u.

En ayant égard à ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent sur la périodicité de l'intégrale i --> les mêmes valeurs de

cette intégrale se reproduisant d'une manière identique dans chacune des bandes de largeur 271 dans ^lesquelles le plan peut être divisé, on en conclura que la fonction z de la variable u est synectique dans toute l'étendue du plan et, de plus, qu'elle est une fonction périodique dont la période est ai?:, c'est-à-dire que l'on a, quel que soit l'entier tî,

3 = -^ ( w ) =: 1}/ ( tt -4- 2 /l/îT )

ou, comme on l'écrit habituellement,

INVERSION DE l'a RC-TANGENTE. 125

1274. II. Considérons la fonction inverse de l'intégrale

f ' dz

Cette intégrale a, comme nous l'avons vu, deux points critiques,

i et — I, à chacun desquels correspond la période zh n. Si donc on partage le plan en bandes parallèles à Taxe des j- et de largeur égale à tt, les valeurs de l'intégrale correspondantes à toutes les valeurs de z se reproduiront identiquement de la même manière dans chacune de ces bandes. Il sufBt donc d'étudier la relation entre z et m pour une seule bande, celle, par exemple, qui contient les valeurs de u correspondantes à tous les chemins rectilignes partant de la limite inférieure zéro de l'intégrale.

Considérons d'abord les chemins rectilignes qui coïncident avec les axes coordonnés. Si z varie, sur l'axe Ox, de — oo à -j- oo , l'intégrale u variera de — oo à une certaine valeur A, que nous déterminerons tout à l'heure, prendra toutes les valeurs comprises entre — A et A, et remplira ainsi toute la partie de l'axe Ox comprise dans la bande de largeur 2 A dont l'origine occupe le centre.

Si maintenant on fait, comme dans l'exemple précédent, parcourir à z un quart de cercle, de centre O et de rayon infiniment grand r, allant de Taxe Oo: à l'axe Oj, l'intégrale croîtra de

p re'Pidp l Ç^

e-'Pidp

expression qui est égale à l'infiniment petit -? multiplié par ime

TT

— lit

intégrale ayant pour limite | e 'Pidp = — e = i, et qui, par

Jo

suite, a pour limite zéro. Donc, quand z arrive au point -j- l'oc ,

TT

l'intégrale u a conservé la valeur -•

Passons de z = -h loo k z = o suivant l'axe des j-, et en évitant seulement le point critique -h i au moyen d'un demi-cercle tracé du centre 4- i avec le rayon infiniment petit p. L'intégrale prise