LIVHB VI. — CHAP. II, § I
d^où, à un infiniment petit près,
- =zcoi[mp -h 6).
Si maintenant z fait le tour du cercle , p croîtra de 27r, et mp -h 6 de 2/7271. Donc coi[mp ■+- 9) s'annulera 2m fois en passant du positif au négatif, sans jamais s'annuler en passant du négatif au positif. Donc l'équation y(z) = o a m racines dans l'intérieur du cercle infini.
d471. Pour déterminer la difiiérence v — v' entre le nombre de fois V que -> en s'annulant, passe du -f- au — et le nombre de
fois v' qu'il passe du — au -f- tandis que z parcourt le contour de !^, Sturm a fait connaître le procédé suivant, qui est une extension de celui qu'il avait donné pour le cas des racines réelles.
Prenons pour contour de <3 une ligne qui se compose de parties C, C, . . . , sur chacune desquelles x et y soient exprimés en fonctions rationnelles d'une troisième variable t. Pour chaque partie, u el V seront exprimés également en fonctions rationnelles de t, de
sorte que le rapport - se changera dans le rapport - de deux fonctions entières de t. Le problème se ramènera alors à trouver la différence V — v' pour chacune des parties C du contour. La somme de toutes ces valeurs donnera le nombre a M.
Divisons maintenant U par V, puis V par le reste — V| de la première division, puis Vi par le reste — Vj de la seconde division, et ainsi de suite ( * ). On finira par arriver à un reste constant — V/ï ; car U et V, ne s'annulant pas à la fois sur le contour, n'ont pas de facteur commun. Soient maintenant, dans le sens des mouvements positifs, a et b les extrémités initiale et finale de la portion de contour C. Alors v — i/ sera égal à l'excès du nombre des variations que la suite
U, V, Vl, . . ., V;,
( * ) Si u est de degré inférieur à celui de V, le reste de la division de U par V sera U, et l'on prendra V, = — U.
NOMBRE DES RACINES d'uNB ÉQUATION DANS UNE AIRE. 7
présente au point b sur le nombre des variations que la même suite présente au point a.
La démonstration est la même que pour le théorème relatif aux racines réelles. On fait voir qu'un changement de signe de l'une des quantités V, V^ , . . . n'a pas d'influence sur le nombre des variations. U et V ne peuvent pas changer de signe en même temps. Donc, si u =0 pour t = c, on aura à considérer les cas suivants, ( désignant un accroissement compté positivement de a vers b :
Dans le premier et le quatrième cas, - passe de -h à — ; donc,
dans le passage par le point c, v augmente d'une unité, et en même temps il se produit une variation de plus, de sorte que l'accroissement du nombre des variations donne bien l'accroissement de V — v'.
Dans le deuxième et le troisième cas, -- passe de — à +, i/ croît
d'une unité, et par suite v — 1/ diminue d'une unité . Mais en même temps le nombre des variations diminue aussi d'une unité. Donc le théorème continue à subsister. Or, comme il ne peut y avoir de changement dans le nombre des variations que lorsqu'on passe par un point c, le théorème est complètement démontré.
1172. Pour mettre en pratique cette méthode, prenons pour contour celui d'un rectangle dont les côtés soient parallèles aux axes coordonnés, et qui ait pour abscisses extrêmes x^ et X et pour ordonnées extrêmes j'^ et Y, en supposant
Le contour se composera de quatre parties :
C correspondant à jr=jr^^ depuis xr= x^ jusqu'à x:
JC
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Ainsi, dans chacune des quatre portions, U et V ne dépendront que d'une seule variable, savoir, de x pour C etC, de^ pour C
et a''.
Si l'on veut obtenir toutes les racines d'une équation, on emploiera d'abord la méthode connue de Sturm pour trouver les racines réelles
On divisera ensuite y(z) par le produit
(z — ^,)(« — flî). ..(3 — a;t)»
ce qui donnera une équation 9(z)= o qui n'aura plus de racines réelles situées sur l'axe des x. On prendra ensuite cet axe luimême pour un des côtés du rectangle. En faisant d'abord
Xq == — 00 , ro = O, X =r. H- 00 , Y = -h 00 ,
on obtiendra le nombre des racines complexes x -h ij pour lesquelles le coefficient^ de i est positif; puis, en faisant
on trouvera de même le nombre des racines complexes dans lesquelles le coefficient de i est négatif.
On partagera ensuite le plan en bandes par des parallèles à l'axe des x\ puis on subdivisera, par des parallèles à l'axe desj', chacune des bandes qui renfermeront des racines. De cette manière, les racines se trouveront resserrées dans des limites assez étroilcs pour qu'on leur applique la méthode d'approximation de Newton.
Ici, comme dans la recherche des racines réelles, il n'est pas absolument nécessaire que l'équation soit réduite à n*avoir plus que des racines simples. Cependant il y a naturellement avantage à commencer par l'application de la méthode des racines multiples, afin d'avoir à opérer sur une équation plus simple.
Il est facile de déterminer les racines imaginaires pures, qui sont les racines communes aux deux équations
et qui s'obtiendront en égalant à zéro le facteur commun à ces deux équations. Après avoir supprimé ces racines, on partagera le plan en quatre parties correspondantes aux quatre angles des axes coordonnés.
