LIVRE VI. — CHAP. III, § IV

de + 100 à o se décomposera en trois intégrales

r'-^'P dz __ . r"^P dr

La seconde de ces intégrales a pour valeur limite

Si, dans la première, on change j' en -^ l^intégrale devient

ety en l'ajoutant à la troisième, il vient

r'-^p dr r-^Pi-r dr

luoy

=^ nioy X loi; y

dont la limite est zéro.

Donc on aura, à un infiniment petit près, en égalant à zéro Tintégrale prise suivant le contour parcouru,

Jo "i -h :? "" 2 "■ °'

ce qui donne la valeur de Tin tégrale prise le long de la totalité de Taxe des x positifs.

INVERSION DE l'aRC-TANGENTE. I27

L'intégrale

I — = — - = moy X logo

est infiniment grande pour p infîninient petit.

L'intégrale Uy étant une fonction impaire de Zy repassera par les mêmes valeurs, au signe près, le long d'un contour symétrique du précédent, c'est-à-dire composé de l'axe des x négatifs, d'un quart (le cercle joignant les points — oo et — loo , et de l'axe des j^ négatifs, où l'on aura évité le point — i par un demi-cercle tracé à gauche de cet axe.

Les contours correspondants aux deux autres quarts de cercle de rayon infini peuvent être remplacés par l'un des deux contours élémentaires {-hi)j ( — i), suivi des mêmes contours où l'on aura évité les points critiques dans les sens contraires des précédents, c'est-à-dire de manière à laisser ces points en dehors des contours. On aura ainsi, sur le contour correspondant au deuxième quadrant, l'intégrale relative au contour élémentaire (H-i), qui est égale à -h TT, plus la somme

où /' est infiniment grand et p infiniment petit, et dont la valeur sera encore nulle.

On voit déjà que, si Ton donne à z toutes les valeurs réelles de — 00 à -H 00 , a prendra, et une seule fois, toutes les valeurs