INVERSION DE L ARC-TANGENTE

De plus, rargument du dénomiDateur 1 4- 2^ a pour tangente

tan^*!/?

r*cos2p

et la valeur de cette tangente augmente continuellement avec r. Donc la courbe u est constamment concave vers Taxe des x.

Pour r = I, l'intégrale, dont nous avons donné la valeur générale au n° 373, a pour valeur

TT / , I -h sin p

y -f- y iOg : •

La partie imaginaire de cette valeur devient inGniment grande

pour ^ infiniment voisin de -1 d'où Ton conclut que la courbe u

s'approche indéfiniment de ses tangentes et s'éloigne à l'infini de l'axe des x.

On verrait, comme au n° 1273, que les courbes u ne se rencontrent pas et qu'elles varient d'une manière continue en même temps que p. Donc elles passent par tous les états intermédiaires, depuis la base commune des triangles isoscèles, qui correspond k p = Of jusqu'à une courbe s'élevant à l'infini et se confondant, à distance finie, avec l'axe desj^et une parallèle à cet axe menée à la

distance - • Donc les courbes u correspondantes aux chemins rec-

lilignes compris dans le premier quadrant remplissent complètetrient et une seule fois la portion de la bande de largeur tt comprise dans ce quadrant.

On trouverait de la même manière que les courbes u correspondantes aux chemins rectilignes compris dans les trois autres quadrants remplissent aussi complètement et une seule fois les trois autres parties de la bande en question. On le reconnaît immédiatement par la symétrie des valeurs obtenues.

Donc z est une fonction de u synectique dans toute Tétendue du plan. De plus, cette fonction est périodique, et sa période est égale à îT. En désignant cette fonction par tanga, par analogie a.vec le cas de u réel, on aura, quel que soit l'entier A",

tangtf = tang(a -+- X-tt).

H -— Cours de Cale, iit finit,, IV. 9

l3o LIVRE VI. — CIIAP. III, § IV.

En combinant les résultats précédents avec le théorème d^addU tîon [827, II], on en déduirait aisément toutes les propriétés de

la fonction tangz.

1276. III. Nous avons vu [1261] que l'intégrale

Jo J I — «*

a pour période 2r et que dans chaque bande verticale de larj;eur 2Tr se trouvent deux valeurs de cette intégrale, correspondantes à la même valeur de z. Etudions la marche de Tintégrale suivant les divers chemins reclilignes de z partant de Forigine, et examinons d*abord les valeurs qu'elle prend lorsque z parcourt les axes coordonnés.

Si z parcourt Taxe des x, en supposant que le radical y/i — zparte de Torigine avec la valeur -f- i et que z évite le point de ramification -f- i en passant au-dessus, on aura d'abord l'intégrale

'-P flz

([ui, pourp infiniment petit, tendra vers une certaine limite réelle, que nous désignerons provisoirement par Â.

Posons maintenant z = i -4- pe'P, d'où

sji — z= ^~ pe"' = y ptf^'''-^^)=:zlz^^û<r

pour ^ = TT, le radical doit avoir la valeur positive ^i — p, ce qui exige que l'on prenne l'expression précédente avec le signe — . On devra donc poser

D'après cela, l'intégrale le long du demi-cercle supérieur aura pour

\aleur

I ^ y'o I — zz^^ -j;

INVERSION DE l'ARC-SINUS. ]3i

quantité infiniment petite en même temps que p, et dont la valeur, à une fraction près infiniment petite d'elle-même, sera (i -j- 1) ^2p. Après avoir parcouru le demi-cercle supérieur, z revenant sur l'axe des x avec la valeur i -+- p, ^i — z prendra la valeur — iy/jô, et par suite le radical ^i — z^ aura une valeur imaginaire négative,

de la forme — ih^. Donc l'élément --- — de l'intégrale sera de la

forme -^ih^, et par suite la partie de l'intégrale prise de H- p

à -f- 00 , I • '■ — '^ sera aussi de la forme -\-ih^.

Ji-hp v/i— 2*

Décrivons maintenant, du centre O et d'un rayon infiniment grand r, un quart de cercle entre les axes Oo: et Oj-, et intégrons le long de ce quart de cercle. Si l'on pose z = /V/*, l'intégrale devient, en remarquant que le radical y/i — z'^ doit être, pour /? = o, de la forme — lA^, ainsi que le quotient de sa division par re^P,