TT 'W TT
Ç' rd.e'P f r' ^ dp r^ dp
dont la limite est pour /■ = oo .
La variable z arrivera sur l'axe Oj avec la valeur -f- i/*, et l'intégrale prise le long de l'axe des j^,
Jir ^l — z* Jr V^ ï -h J*
sera une imaginaire pure, de la forme ± ili^. Sa valeur numérique,
/dr -^ = logj, sera infinie pour
En écrivant maintenant que l'intégrale prise le long du contour total est nulle, on aura, pour p infiniment petit et r infiniment grand.
o = hin 1 , -hhm / - + / f -==)—-
Jo v^l— 3* \«/i4-/» VI — •'-* Jr v/lH-J*/ 2
l32 LIVRE VI. — CIIAP. III, § IV.
En égalant séparément à zéro la partie réelle, on a
La seconde intégrale étant de la forme H- i7i-, la dernière doit être de la forme — ih-y et, comme / == est négatif, il faut que
le radical >Ji-hj'- soit pris avec le signe -j-, ce qui résulterait d^ailleurs de ce qu'il doit revenir en O avec sa détermination initiale.
Ainsi aux valeurs réelles de z depuis zéro jusqu'à -4- i correspondent des valeurs réelles de u depuis zéro jusqu'à H — • Lorsque z
varie de -f- i à -h oo , u prend des valeurs complexes de — f- lo à
— f- 100 . Pour z purement imaginaire, de zéro à -j- loo , u passera
par toutes les valeurs purement imaginaires, de zéro à -f- loo .
Si l'on change z en — r, l'intégrale u ne fera que changer de signe. Donc, si l'on fait parcourir à zdes chemins symétriques des précédents par rapport à l'origine, u prendra des valeurs égales, au signe près, aux valeurs précédentes. Ainsi, z variant de zéro à — ij u variera de zéro à — tt ; 5 variant de — i à — oo , après
avoir évité le point — i en passant au-dessous, u variera de — *-
à 1 00 ; :: variant de zéro à — 1 00 , u variera de zéro à — 1 oo .
1277. Supposons actuellement que z parcoure un chemin rectiligne z =re^P, Pour avoir l'inclinaison de la tangente à la courbe u au point correspondant à z, remarquons que l'argument du radi>
cal ^i — z'^ est la demi-somme des arguments des facteurs i I — z delà quantité sous le radical, c'est-à-dire Tinclinaison de la bissectrice de l'angle P'OP (^^. 100), OP et OP' représentant les facteurs en question. Cet argument sera nul pour r = o ; il deviendra ensuite négatif si p est aigu, positif si p est obtus. Pour r infîni, la bissectrice de P'OP se confondra avec une perpendiculaire à la droite Oz, et aura ainsi pour argument p -• Donc
INVERSION DE l'aRC-SINUS. i33
Ta différence entre p et l'argument du radical , c'est-à-dire Targument de i variera depuis p jusqu'à p — [p ) = ~j donc
la tangente à la courbe u coïncidera d'abord avec le chemin recti-
Fiy. loo.
ligne Oz, puis elle s'écartera de O^, et, à l'infini, elle deviendra parallèle à Oy,
On voit ensuite, comme au n» 1273, que, si l'on fait croître l'angle p infiniment peu, la distance des deux courbes u correspondantes aux angles p et p -{- dp sera infiniment petite, mais différente de zéro pour z fini, de sorte que les courbes u ne se rencontrent pas et se succèdent d'une manière continue.
Donc, si l'on considère tous les chemins rectilignes compris entre les directions Ox et Oj, on voit que les diverses courbes u correspondantes varieront par degrés continus, et toujours dans le même sens, depuis la courbe u correspondante à Ox (*), la-
quelle se compose d'un segment de l'axe réel égal à-i et de toute
la perpendiculaire à l'extrémité de ce segment, jusqu'à la courbe u correspondante à O/, laquelle est l'axe imaginaire lui-même. Donc toutes les courbes u remplissent complètement et une seule
fois la bande verticale de largeur - comprise à droite de Oj dans
le premier quadrant.
La symétrie nous montre que la même chose se passe dans le
(') En supposant qu'on ait évité le point -H i par un dcmi-corcle supérieur.
l34 LIVRE VI. — - CIIAP. III, § IV.
Iroisiùme quadrant, si Ton a évité le point — i au moyen d'un demi-cercle inférieur, de sorte que les courbes u correspondantes aux chemins rcctilignes compris dans ce quadrant remplissent
entièrement et une seule fois la bande de largeur - située dans ce
même quadrant.
En faisant croître ^ de - à ir, on verrait de même que les courbes u
correspondantes aux chemins rectilignes compris dans le deuxième et le quatrième quadrant remplissent, sans superposition, les portions de la bande verticale comprise entre x= ^ etx=-+--
qui se* trouvent dans ces quadrants respectifs.
Donc z est une fonction synectique de u dans toute l'étendue de la bande verticale en question.
1279. Si Ton avait commencé par décrire l'un ou l'autre des contours élémentaires (-h i), ( — i), on aurait obtenu, en parcouran-t les divers chemins rectilignes, les valeurs précédentes de u changées de signe et augmentées toutes de =t ir. Dès lors, les valeurs réelles de l'intégrale s'étendront de — îr à -{- ir ( * ). Donc, dans la bande verticale de largeur 2 7r, dont l'origine occupe le milieu, on aura, pour la même valeur de z, deux valeurs de l'intégrale, de la forme u et it tt — u.
£n parcourant maintenant l'ensemble des deux contours élémentaires un nombre quelconque de fois, on formera, comme nous l'avons vu, un nombre illimité de systèmes identiques de valeurs de u, correspondants à un même système de valeurs de c, et situés dans les bandes successives de largeur 2 71, prises de part et d'autre de la première.
(*) En effet, les parties réelles des valeurs de u obtenues dans le numéro précédent varient entre et -+- —• Les parties réelles de -h tt — u varieront donc entre H — '-
et -h -» celles de — T — « entre et ^- On voit donc que la bande de lar^ur
3 7r, s*étendant symétriquement de part et d'autre de 0^, contiendra toujours l'une des deux valeurs — tt — u et -t-:r — n, et une seule, puisque tout nombre compris
entre H- t et — w est contenu dans l'un des trois intervalles de -h— an idc — -
à H — et de à — —9 et y est contenu une seule fois.
INVERSION DE L ARC-SINUS. l35
1280. De ce que nous avons établi dans le paragraphe précédent il résulte que la variable z, considérée comme une fonction de l'intégrale m, est uniforme et continue dans toute Té tendue du plan, et qu'en outre elle est périodique, sa valeur ne changeant pas lorsqu'on remplace u soit par uni: -hw, soit par (2/1-1-1)7: — m, de sorte que, si Ton désigne celte fonction par sinw, on aura
sintt = sin[2/i7r -f- w) = SLn[[2/i -+- i)ir — u].
On a, de plus
sin ( — «) = — sintt,
d'où l'on conclut la relation
s[n[[ 2 n -\- i)n -h u]=i sin[ iniz — «) = — sini/.
Donc, en général, on a
sin[/z77 -+-«)=:( — ij'*sintt.
i281. Il est utile d'introduire aussi comme fonction analytique
le radical ^1 — z-* = y^i — sin=*z/, que l'on désigne par la notation cosu. La valeur numérique de ce radical se tire immédiatement de celle de sinii; mais son signe ne peut être fixé d'après la valeur de u qu'au moyen d'une discussion spéciale.
Considérons d'abord les valeurs de u pour lesquelles on a
sin tt = -h I .
L'intégrale / ayant pour valeur - > on aura par conséquent
Jo \i — z* 2
sin- = -h I, et, en vertu de la périodicité de la fonction sin m, on aura, quel que soit l'entier /z.
sin[^;,7r-f-[-i)»^]=3i.
Pour la valeur - de u, le radical ±Ji — z^ = cosu s'évanouit.
Si on le suppose partant de u = o avec la valeur -+- 1 , quel devra être son signe dans le voisinage du point de ramification - ?
cos
f36 LIVRE VI. — GHAP. ill, § tV.
Donnons à u une valeur --f-e, infiniment voisine de-; nous aurons y par les formules précédentes,
«n(^ + .) = sin[7:-(^ + .)]=sin(^-.).
Donc la fonction sin ( - -f- «) ^st une fonction paire de e, et, si on
la développe en série suivant les puissances de 6, le développement ne pourra contenir que des puissances paires, et sera de la forme
sin( - -h 8] =1 -hût'-f- ^«*-h. . .'.
On tire de là
Pour une valeur suflisamment petite du module de e, cos ( — |- c) est donc sensiblement proportionnel à la première puissance de e, et par conséquent le point - n'est pas un point de ramification de
cette fonction, non plus que les autres points /itt-j- ( — i)"- pour
lesquels sin a = -i- i .
Il en serait de même des points pour lesquels sinu = — i, c'est-
à-dire des points /itt — ( — i)" -•
La fonction sinu devient infinie pour u égal aux valeurs de Tin-
? et il résulte de ce que nous avons vu que ces
sjl — -3*
valeurs se composent d'une partie réelle arbitraire, jointe à une partie imaginaire infinie. Donc sinu ne devient infini pour aucune valeur finie de u.
Dcuic nous avons démontré que la valeur de cosu est uniforme pour toute valeur de u.
1281. Pour étudier maintenant la périodicité de la fonction cosu, considérons l'équation transcendante
cose< = cos Ho .
INVERSION DE l'aRC-SINUS. i37
En remplaçant le cosinus par sa valeur =t ^i — sin^M, cette équation entraîne une des deux suivantes:
(i) ' sin II = -I- sintto» sinii^i: — siniio.
La première de ces équations donne
a =: /iir -4- ( — ij^Ho*
Si Ton désigne maintenant par G le chemin quelconque que Ton a décrit pour obtenir l'intégrale Uq, il résulte de ce que nous avons dit au n° 1255 que Ton obtiendra la valeur de u en faisant précéder le chemin C du parcours alternatif des deux contours (-+- i), ( — i), en commençant par le premier ou le second suivant que /t est pair ou impair, et faisant un nombre total de tours égal à n.
Or, à chaque parcours d'un contour élémentaire, le radical change de signe. S'il est donc parti avec le signe -i-i, il aura, après les n parcours, le signe de ( — i)". Donc il partira, pour décrire le chemin C, avec la valeur ( — i)'*. Il arrivera donc au point correspondant à ii© avec la valeur ( — i)" cosuq. Donc
COS[/î7r -h ( — l)'*llo] = (~ l)'*COSIIo,
et, pour que cette valeur soit égale à -f- cosiio, il faut que n soit pair, ce qui donne une première solution exprimée par la formule
(2) C0s(2/Î7r -f- Wq) = COSMo.
La seconde équation (i) donne et l'on en tirera comme ci-dessus
cos(2/i7r — Uq] =^ cos( — Uq).
Or cosu= ^i — sin^w = y/i — sin"^( — u) est une fonction paire de Uy et l'on a
cos( — «0) = COSI/q,
Donc on aura encore
ces (2 /ITT — Ufi] = COSUq,
Par conséquent, toutes les valeurs de u pour lesquelles le cosinus
l38 LIVRE VI. — CHAP. m, § IV.
sera égal à cos«o seront données par la formule
C()s(2/Ï7rzt: Uq] =z COSUq,
1282. Ajoutons encore quelques détails sur la marche de la fonction cosu.
Tandis que z décrit Taxe des x positifs, de o à -h oo , en passant au-dessus du point -f-i, nous avons vu que, de o à -hi, v^i — z-
varie de H- i à o, tandis que u croît de o à -♦ d'où
coso = I , cos - = o.
A partir de z = i , le radical ^ i — z^ prend des valeurs imaginaires de la forme — ig^^ correspondantes à des valeurs de u de la
forme — h i A* . Donc la valeur de cos ( - -h ih- \ est de la forme — is^ Pour z infini réel, y'i — z- a pour valeur — loo , d'où
cos ( h / 30 1 = — /» .
Si z s'éloigne à l'infini, suivant une direction d'argument/;, le sinus étant égal à ooe'P^ le cosinus aura, comme le sinus, une valeur complexe infinie, dont la valeur approchée est — iooe^P,
correspondante à l'arc n -{- i oo .
Pour /; = -> la valeur de cos a devient H- oo pour m = -h loo .
T)eu = o à M = -f-ioo, cosu a des valeurs réelles croissanl de 4-1 à -+- 00 .
Nous avons discuté la courbe décrite par u lorsque z parcourt un chemin rectiligne partant de l'origine. Il est aisé d'obtenir la
courbe correspondante décrite par le cosinus y/i — z'^. Elle a pour équation
OU, en éliminant /',
Ç* — 2 ?ï3 cot 2/? — 7,* = I ,
INVERSION DE l'ARC-SINUS. iSq
équalion d'une hyperbole dont les asymptotes font avec Ox les angles p et p ^•
Le carré du module de cosm = ^i — r-e^^P est
dont la valeur atteint un minimum pour /'-=cos2/;, et l'on a alors p := sin2^.
Si Ton désigne par xs l'argument de yfi — 2-*, on trouve
— i^smip tani^a/j tiing 2 cr =: = •
/•^cus2y>
Pour r=o, cosa = i, tang2GJ=o, ci = o. Pour /• croissant à partir de zéro, tang2tj devient négatif, si p est <C7» pour redevenir positif après avoir passé par oo , et le rayon pe'" va en s'écartant de la droite re'^, jusqu'à ce que, pour /• = oo , il lui devienne perpendiculaire.
Nous engageons le lecteur à construire et à comparer, pour un chemin rectiligne donné de z = sinw, les courbes décrites par les fonctions u et cosu,
1283. Nous avons vu [827, III] que, étant donnés deux arguments Uy ii| dont la somme est constante, leurs sinus z, z^ satisfont à la relation
z\j ï — z\ -h Zi v'i — 2* = const.,
et la constante n'est autre chose que ce que devient le sinus de l'un des arguments, quand l'autre argument s'annule, les radicaux devant se réduire chacun à -f- 1 pour z ou Zx nul. On peut écrire cette relation sous la forme
sinz/cos/i| + sinz/|Cosf£ =: sin(ii -f- u^].
Si l'on y fait u^ = — -t il vient sin «i = — i et
— costt rz= sm I w j = — sin ( « J ,
l40 LI%'RB VI. — CUAP. III, § IV.
d'où
cos
n = sin 1 « I .
On tire de là et des formules précédentes toutes les relations qui lient entre elles les fonctions sinus et cosinus.
1284. IV. Traitons, pour dernier exemple, l'inversion de Tinlégrale elliptique
^ r- riz p dz
Nous avons vu que toutes les valeurs possibles de cette inléj;rale, correspondantes aux valeurs de la limite supérieure z, s'obtiennent en faisant précéder l'intégration rectiligne correspondante à cette limite d'une ou de plusieurs intégrations effectuées
le long des quatre contours élémentaires (=t: i), ( — jl» ^^ ^"^
toutes ces valeurs sont distribuées d'une manière identique dans chacun des rectangles de dimensions 4K. et 2K', dans lesquels on peut partager le plan des u.
Il résulte de là que z, considéré comme fonction de m, est une fonction doublement périodique, ayant pour périodes 41^ et 2iK'.
Il nous reste à établir que cette fonction est uniforme et continue, et pour cela il nous suffira de considérer les valeurs rectilignes de l'intégrale «, et de montrer qu'elles remplissent complètement et une seule fois l'étendue de l'un de ces rectangles, celui qui a pour centre l'origine des coordonnées.
Faisons d'abord parcourir à z les axes coordonnés. L'axe des x
positifs contient les deux points de ramification -f- 1 et -+- -• En évitant le point -{- i au moyen d'un demi-cercle supérieur, on
aura d'abord, comme au n° 1276, l'intégrale l ** ? qui a
pour limite K [1202], puis l'intégrale semi-circulaire
qui s'évanouit avec p, et dont la valeur approchée à une fraction
INVERSION DE l'INTÉGRALE ELLIPTIQUE. l4l
près infiniment petite d^elle-méme sera
si? C \'P 1 ' -^ ' / —
Dans le parcours du demi-cercle supérieur, z = i-i- pe*P variant dei — pài-Hp, I — z variera depuis — pe*''==-hp à — p, et
^i — Z depuis ±ip-e- jusqu'à ::hip*y et, comme la première de ces valeurs doit se réduire à -f- ^, on doit prendre pour les deux le signe inférieur, de telle sorte que yj i — z variera de -h^'p à — iyjp.
Donc, entre les points + i et 4- t» le radical ^i — ^ et par suite
aussi le radical R(^) devront prendre des valeurs de la forme — ih'. L'élément de l'intégrale sera donc, dans cet intervalle, de la forme -{- ih-, et il en sera de même, par conséquent, de l'intégrale
* dz
= iK',
K' étant réel et positif. On aura donc
De z^ jk z = -i-co l'ialégrale s'accroît de la valeur
que nous avons trouvée égale à — K. Donc on aura
•* dz
= -h iK\
de sorte que, lorsque z parcourt l'axe des x, en évitant les deux points critiques -h i et 4- -» suivant des demi-cercles supérieurs, u variera de o à Xi par des accroissements réels positifs, puis de K
l42 LIVHB VI. — ClIAP. III, § IV.
à Kh-/R' par des accroissements de la forme -hih^, et enfin de K -h ïK' à H- i¥J par des accroissements réels négatifs.
De z = o à z = -f- ioo , sur Taxe des j', u variera d*iine manière continue depuis o à 4- «K.'.
Si Ton évite les points critiques sur Taxe des x négatifs suivant des demi-cercles infcrieurSy on verra de môme que u variera lOdeoà— K, aMe — Kà — K— /R', 3<>dc — K — iK'à— iK'.
Sur Taxe desj^ négatifs, u variera de o à — *oo .
Ainsi, si Ton construit un rectangle de centre o et compris entre les droites x= ±:K, j=± R', on voit que, tandis que z parcourra Taxe des j: positifs, ix parcourra la portion de contour OABCO {fis* 101). Si z parcourt Taxe des x négatifs, « parcourra OA'B'C'O ( * ); z parcourant les axes des y positifs et négatifs, u parcourra les droites OC et OC.
-K*iK'
-K-tK'
Fip. loi-
Ki
-iK'
K*tK'
1287. Supposons maintenant que z décrive un chemin rcctiligne re^P. L'argument de la différentielle ^' . sera égal à l'argu-
ment/; de dzy moins l'argument de R(5), lequel est la demi-somme des arguments des facteurs
