I -H 3, I — z, I -h /z, I — kz

de la quantité sous le radical. On verrait {^fig» >02), comme au n" 1277, que, pour /• variant de o à oc , les arguments des fac-

(') Si X eût évité les points dbi par des denii-ccrcics tournés en sens contrai*^ lies précédents, u aurait parcouru les deux autres portions du contour OAR|C'0. OA'B'.CO.

INVERSION DE L*INT£GRALE ELLIPTIQUE. l43

leurs i -h z, i -f- A"z varient de o à /^ ; ceux de i — 3, i — kz, de o k p — îT. Donc leur demi-somme varie de o à !ip — tt, d*oii il s'en-

Kijj. 102.

suit que Targumenl de la différentielle varie de p — o=/;à /; — [ap — 7r)= TU — p.

, j > étant égale à l'intégrale

— — -y plus à rintégrale prise le long de Tare de cercle de

rayon /• compris entre Ox et la droite re'P^ et cette dernière intégrale étant nulle pour r= ce , on aura, quel que soit p, compris entre o et tt,

» efPflr ,

Donc, toutes les courbes u correspondantes aux diverses valeurs de p passeront par le point C de Idijlg. loo, et leurs tangentes en O et en C formeront avec OC un triangle isoscèle.

L'argument de la tangente pour r, variant de o à oo , varie de p ;\ Tt — py d'une manière continue et toujours dans le même sens. De plus, on verrait, comme aux n*** 1272 et 1277, que deux courbes u consécutives sont infiniment voisines dans toute leur étendue et n'ont d'autres points communs que leurs extrémités.

Donc, si l'on fait varier w de o à -» la courbe u variera d'une

manière continue depuis la forme du contour OABC {fig* loi) jusqu'à celle de la droite OC. Donc les courbes u remplissent complélement et une seule fois l'arc du rectangle OABC.

l4l MVHK VI. — CHAP. III, § IV.

On verrait de la même manière, à cause de la s}'mélrie, que, pour les valeurs de p prises dans les autres quadrants, les courbes u remplissent pareillement les trois autres parties du rectangle B| B B', B'. Donc chaque point 1/ de Tintérieur de ce rectangle correspond à une valeur déterminée de z et à une seule. Donc z est déterminé uniformément par un point quelconque de Taire du rectangle, c'est-à-dire que z est, dans Tintérieur de cette aire, une (onction monogène, uniforme et continue de la variable u.

1288. Si, avant de décrire le chemin rectiligne correspondant à la valeur u de l'intégrale, on avait commencé par décrire le contour élémentaire ( — 1), rintégrale u serait devenue aK — u. Donc la même valeur de z qui correspond à u correspond aussi au point (2K — u). L'un de ces deux points, et un seul, est contenu dans le rectangle de largeur 4 K- et de hauteur 21K', dont le point K occupe le centre, et il est facile de voir que ces points remplissent toute la différence entre Taire de ce rectangle et celle du rectangle de largeur 2K qui contient tous les points u correspondants aux premières intégrales reclilignes.

Donc la fonction z = ^[u) prend toutes les valeurs possibles en deux points, et en deux seulement, situés dans Tintérieur du rectangle compris entre les droites x = Kit2K,^ = ihR', et disposés symétriquement par rapport au point (j:= -H K, j' = o).

Si Ton divise entièrement le plan en rectangles égaux à celui que nous venons de considérer, les mêmes valeurs de z se reproduiront deux fois dans chaque rectangle, et elles seront disposées sur des parallèles à Taxe des or, à la distance 4^^ "^^ unes des autres, et en même temps sur des parallèles à Taxe des j^, à la dislance 2K'.

1289. Si dans Tinlégrale

on pose z = siny, Tintégrale prendra la forme

FONCTION Snw.

Cet angle CP; considéré comme fonction de Tintégraie ii, est ditr^mplitude de l'argument w, et on le désigne par

^ = arcsmz = amu.

La variable Zy d'après cette notation, sera le sinus de l'amplitude de u, et pourra être représentée par la notation

z = smami/.

Pour abréger l'écriture, nous adopterons la notation plus commode de Gudermann^ et nous écrirons simplement

z zn sn M.

Cela posé, les relations précédentes nous montrent que l'on a, quels que soient les entiers m, n,

snu:=sn[imK-h ifùK' -h [ — i )'"«],

^t, si m est pair, en écrivant az/i au lieu de m,

snu = sn(4/^K -4- laiJL' -4- i/),

d'où Ton voit que la fonction snu est doublement périodique, les périodes étant 4K. et 21K'.

Fig. io3.