LK

En particulier, on a Pour u = G, on a

sn( — tt) = — sna.

sno = sn(2//îK + 2/î/K') =^, sn(± K) = sn[(4/w=fc i)K -+- '2/i/K']

Cours de Cale, injinlt,, IV.

=r zn I.

li<> LIVRE VI. — CHAP. m, § IV.

-p; — = iK', on en conclut

sn(±/K'; — sn[2/MK4-(2/i-+-i)iK']=:±:/x)

on aura

-—, - étant ésral à K ±: i K',

sin(K±iK')=:i..

I^^ signes -f- et — que contient chacun des rectangles de la fig, io3 indiquent d(; laquelle des quatre formes di ,ç^ dt lA- est la valeur correspondante de sn u. Il en est de même pour iesjîg. io4 vl io5, relatives aux autres fonctions elliptiques.

1290. De même que, en étudiant Tinversion de l'intégrale

f* dz -rr^L^rrr:» nous avoiis considéré, outre la limite supérieure z, le

radical y^i — z'^ comme une fonction de l'intégrale, nous considérerons aussi comme des fonctions inverses de l'intégrale elliptique

- les deux facteurs du radical Ji — z- el

y/i-z*^i-A I^ premi^'re de ces fonctions,

^1 — w- = ^1 — siu*y zzz cosç> = cosaniK,

est analogue à un cosinus; nous la représenterons, pour abréger,

par

^ \ — sii*tt = cnw.

ï^ seconde fonction, que l'on représente par

V I — ^*^^ "^ V * — A-siu-o = Av,

n'a pas d'analogue parmi les fonctions circulaires. Si l'on supposait A= o, auquel cas- u se réduirait à y, et par suite amu à m, sna à sinw, cnu à cosii, la fonction ûtp = Aamu se réduirait à

FONCTION en//. i47

riinilc. Nous la désignerons par

y/i — A*sn*// = (In//.

Les valeurs de la fonction uniforme snu étant connues, on connuitra parla même les valeurs numériques des fonctions cnu, dnu ; mais il reste à voir comment varieront leurs signes.

1291. Considérons d'abord la fonction cnu= ^i — sn^i/. Bien qu'elle soit donnée par un radical susceptible d'une double détermination, nous allons montrer, comme nous l'avons fait pour la fonction cosu, que les points pour lesquels elle s'annule ou devient infinie ne sont pas des points de ramification, et que, pour toute valeur de u, en a a un signe complètement déterminé.

La fonction cnu s'annule pour les valeurs de u correspondantes à snii = ± I, c'est-à-dire que l'on a

cn[(4/?i± i)K -f- iniK'']z=zo,

Examinons d'abord le cas du signe supérieur, qui répond à

sn // = -f- 1 ,

et cherchons la valeur de en m pour u voisin de K et égal à K H- s. En vertu de la formule

sn(2K — u] = sn//,

on aura

sn(K. -f- e) = sn(K — «).

Donc sn(K -I- e) est une fonction paire de e, et son développement suivant les puissances de e ne pourra contenir que des puissances paires et sera de la forme

sn(K -4- «) = i -»-/7e'-r ^ï*4-

On en lire

cn(K.-h «)= V'* — l» -h «8*-^- ^«*-H . . .;*

I*our e infiniment petit, cn(K H- e) est sensiblement proportionnel à celte variable complexe e, et par suite, le radical, qui est fini, ne pouvant changer de signe, pour une variation infiniment petite de g, le point u = K n'est pas un point de ramification de la fonc-

lO.

l48 LIVRE Vf. — CIIAP. III, § IV.

lion cnu. Il en sera de même pour la valeur K augmentée de 4'wK-l-amK', c'est-à-dire pour tous les points correspondants à sn a = 4- I .

Si Ton considère maintenant un quelconque des points pour lesquels snu = — i, comme on a toujours

sn[ — u] = — sn«,

ta fonction — sn u prendra dans le voisinage de ce point les mêmes valeurs que -f- snu dans le cas précédent, et Ton verra de la même manière que ce point n'est pas non plus un point de ramification •de cna.

Passons maintenant aux points amK-H(a« -h i)iK', qui donnent sna= oo . Si dans Tintégrale [1264]

r riz __ r rh __ r"^ dz __

on pose 2 = y-7» cette intégrale se change en

Az'

Iwr'-"^'-

Donc

sn[u — i¥i') = z' =

A' snu Par conséquent, en faisant u •= — c, on a

sn(/K' + s) — — ^, ' A sn f

t(i ou

cn(;K' + .) = -'—-

V^— I -+- A*sn*

AsDe

11 s'ensuit de là que, pour £ assez petit, cn(iK'-h e)]est sensiblement proportionnel à — ? et, partant, iK'etles autres infinis de snii

ne sont pas des points de ramification de cnu.

Donc en a est, comme snu^ une fonction toujours uniforme de u.

De plus, lorsque z parcourt deux chemins symétriques par rapport à l'origine O, ^i - z^ parlant avec la môme valeur dans les

FONCTION cnu. i4i^

deux cas, les deux chemins entoureront autant de fois Tun que Tautre les points de ramification de ce radical. Donc à deux valeurs égales et de signes contraires de z = snu et aussi de u correspondront deux valeurs égales et de même signe de y/i — z'^=cnu. Donc la fonction cnu est une fonction paire de u.

1292. Pour déterminer la périodicité de cnu, nous remarquerons^ comme au n*' 1281, que les racines de Téquation

cnu = cnuQ

doivent être comprises parmi les racines des deux équations

sn « =: -f- sn «ot sn M = — sn Uq,

qui sont vérifiées par les valeurs

u = îwK -4- 2/î/K'it:( — i)"'//o.

Soit C le chemin quelconque décrit par z pour obtenir la valeur /lo

— ^- On obtiendra u [1289] en faisant parcourir

à z, avant le chemin C, n fois alternativement les contours élémentaires (h-t)' ( — t)' P"Îs m — n fois alternativement les

contours (-+- i)> ( — i)* Or le radical. y/i — z'^ n'apasd^aulres points de ramification que -f- i et — i ; il changera donc de signe seulement m — n fois dans le parcours des contours élémentaires, de sorte que Ton aura

cn[a/wK-+-2/î/K'±:(— i)'''//o] = (— i)'"-" en (±«0) = (—')'"■"" cn"or

formule que Ton peut écrire plus simplement cn[imK-\'2/iiK'±u) = {- ij^'+^onM.

En remplaçant tour à tour m par 2 m et par 2//1 -f- i , on en tirera

cn(4/wK -h 2/i/K' dz k) = ( — i)« cm/, cn[(4/?i-f- ?.)K4- a/i/K'zhi/]— (— i)«+Jcnw.

ItiO LIVBE VI. -- CHAP. III, § IV.

En particulier, on trouve

cn« =cn''4K -r- m)

r-rn(aK-4-5./K'-htt) = — cn(2K H- «) =1 — en 2 / K' -f- « ■ .

La fonction cni/ a donc pour périodes 4K et aK -h 21R'.

(293. Examinons la marche de la fonction en» pour les di\ erses xaleurs de u.

Lorsque :; parcourt Taxe des x positifs [au-dessus des points de ramification) et que u parcourt le chemin correspondant OABCl

{Jig- io4\ le radical y'i — z- est d'abord réel et positif, de 3 = o

K*iK'

-K-tK'

K-tK

à 3 = H- I ou de w = o à // = K ; puis il prend une valeur imaginaire négati\e, de la forme — i*A^, lorsque z varie de -{- i à -h-

ct de -+- "7 il -f- 00 , c'est-à-dire lorsque u varie de K à K + 1 K' v\ de K -f- iVJ à ^- / K'. Pour passer de :r = -f- X) à 2 = -f- ix , il

IT

faut multiplier z par e~ = /, et, par suite,

devient H- -\/ i — ;;^> valeur réelle et positive pour z imaginaire

FONCTION en//. iTiI

pure. On a donc les valeurs

cno := I, cnK=:o,

cniK' = 4-oo«

Si l'on avait décrit Taxe des x positifs en passant au-dessous du point -H I, u aurait pris, pour z = -r> la valeur K — /K', y/i — z^ étant de la forme -h /A^. Donc •

cn(R — /KM=:4- --.

Si z décrit l'axe imaginaire positif, de zéro à -h ioo , u croît de

zéro à + iK', et y/i — z'^ depuis i jusqu'à -h oo , en restant toujours réel.

Si l'on fait prendre maintenant à u des valeurs égales et de signe contraire aux précédentes, la fonction cnu reprendra les mêmes valeurs que ci-dessus, puisque cn( — u) = cnM.

Lorsque z décrit un chemin rectiiigne re'P^ on verrait, comme

au n® 1282, que \j\ — ;:- décrit une hyperbole équilatère repré-

sin ?t i> senlée par l'équation p^ = -: r-- \^ Qui ne dépend que de la

cotangenle de l'angle 2/7, et qui correspond, par conséquent, aux

valeurs p elpzh-àc l'angle p\ son module minimum a pour

valeur sin a/9. Pour r = o, l'argument de la valeur de en m est nul ; si z s'éloigne de l'origine dans un sens ou dans l'autre, l'argument

de yfT—z^ tend vers celui de l'une ou de l'autre des asymplolcs de l'hyperbole, en vertu de la relation

tan g: 20 tang 2 CI = -^^— ^ — ,

r^ COS2/;

qui, pour r = it oo , donne tang 2CJ = lang2/>, d'où n = p f>u p . Le point y/i — Z' décrira l'une ou l'autre des branches de

LiriB VI. — CHAP. III, S IV.

riivporLole, suivant que le radical partira de zéro avec la valeur -h i ou avec la valeur — i .

La figure ci-jointe {fig- io5y indique la distribution, dans chaque

Fiç. loj.

JV

3K*iiK

-K-tK'

r B^ c, JK-iK'

rectangle de dimensions 4K. et 4^'» ^^^ diverses valeurs de u qui correspondent à une même valeur de la fonction en ii.

Si II parcourt une des courbes renfermées dans le rectangle OABC ou dans le rectangle OA' B^C {Jig» ïo4), on voit aisément

que, pour /> aigu, le point \h — z'-^ décrit la partie inférieure delà branche de droite de Thyperbole, c'est-à-dire que cn« est delà

forme g- — ih^ . Pour Tangle obtus p -f- -» correspondant à la

même hyperbole, y'i — z'^ décrit la partie supérieure de la même branche, el, par suite, cnu est de la forme g^ -h ih^.

De Téquation cn(2K rb u) = — cm/, on conclut que, dans les quatre rectangles qui composent le rectangle BBj BiB"(yi^. io4)t les signes sont respectivement contraires à ceux des quatre rectangles qui composent Biy, B'B«.

L'équalioncn(aiK'± m) = — cnu montre qu'il en est de même pour les rectangles qui composent B Bj B4 B', et que les signes, dans le rectangle B B^'B"* B3, sont les mêmes que dans B K, B'B|.

On voit que cnw, comme snu, parcourt la série complète de ses valeurs dans l'étendue d'un rectangle de dimensions 4 K. et 2R', et que, dans deux de ces rectangles composant un rectangle de dimensions ^K et4K.', les valeurs égales sont disposées symélriqucment par rapport au centre B de ce dernier rectangle.

FONCTION tn«. l53

1294. Des propriélés des fonctions snuy cnii résultent immédiatement celles de leur quotient, qui forme une nouvelle fonction elliptique, analogue à la tangente circulaire :

z sn //

z=z- = tang am w = tn 1/ =

ciiu

Les valeurs de u pour lesquelles la fonction tn u reprend la même valeur sont celles pour lesquelles les deux fonctions snu, cn« reprennent des valeurs respectives soit égales et de même signe, soit égales et de signe contraire.

Or on a [1289 et 1292]

snu = sn[2mK-h a/«K'-t-(— i )'""],

• le signe ±, dans la dernière formule, pouvant être choisi à volonté. En discutant les formes communes aux valeurs générales des arcs correspondants à -f-sna et à-f-cnw, ou à — snu et — cnw, on trouvera, pour la formule générale des arcs qui répondent à une même valeur de tni/,

tnu = tn[2/?2K4-2«/K.'-f- (— i)"«].

On a, de plus,

tn( — u) = — tn«,

tno =:tn(2/«KH- 2/î/K') = o,

tnK = tn[(2/?i 4-i)K-h2/î/K'] = (X> ,

tn(±/K')= lim ^"^ = lim ~' =-^>.

tn(K-i-iK') = ln[(2/n4-i)K+(a/i + i)iK']=^- 1293. Il nous reste à étudier la fonction

y I — X* 3* = A ani 1/ = dn //.

On démontrera, absolument comme on Ta fait pour la fonction cm/, que dnw est une fonction uniforme de u dans toute Tétendue du plan. On a ensuite, à cause de la symétrie,

dn( — tt) = 4- dnw.

Pour déterminer maintenant la périodicité de dn«, remarquons

l54 LIVRE VI. — CHAP. III, § IV.

([uc les valeurs de i£ qui font reprendre à dnu une même \alour dn/io doivent être comprises dans celles que donne la formule

« = 2/?iK ^ 2IÎ/K' db (— i)"»//^

ri pour lesquelles sn^w = sn^a©. La première s'obtient en faisant précéder le chemin C, qui donne la valeur Uo, du parcours alter-

Dutif des deux contours élémentaires (-I-t)» { — t)> répété n fois,

plus du parcours alternatif des deux contours élémentaires (-+-1)»

^ — 1), répété m — n fois. Donc le radical ^i — k- z- aura changé n fois de signe, et, par suite, il aura été multiplié par ( — iV'; on aura donc

dn[2wK4-?.///K'zr: — i)'"tfy] == (— i)"dn ;d: Wo) = (— i)"dn«o,

t)u, phis simplement,

dii(2/;iK -+- 9.^1/K'zb u] ^~^[ — i)"dii«.

Kn rcmpluçant tour à tour n par 2/1 et par 2/H- i, on en tirera

dii[2//iK -\- 4"'K'db«) = dni/, dn[2//iK -h[^n -\- 2)/K'± w] =: — diî«.

Kn particulier,

ânu :=^ dn( — //)

=^ dn(2K -h 1/)

::^dn(4/R'-|-«)

~— dn(2/K'H-i/;.

La fonction dn/£ a donc pour périodes 2K et 4*K.'»

I^orsque ^ et m parcourent Tun Taxe des x positifs, Tautre le

<>hemin OABC {/ig- 101), de z = o ii z=-j ou de 11 = o à

// = K -h iR', y' i — k' Z' \arie de -\- i à zéro ; de r = - d z =-|- x ,

ou de w == R -i- /K' d u =-h i R', \/i — A- z'-^ est de la forme — i/r et varie de zéro à — 100 . De z = -h 00 à r =4-1» ,

^1 — A- z- =z — / ^z^ — I = — /do

est multiplié par e' = /, et devient =-i- 00 . Donc on a

dn o =: i ,

dn[K-i- /K') — o, dn £ K' ^ H- QO .

FONCTION dna. i55

Sî z avait évité le point -f- 1 en passant'au-rfe.wo//^, on aurait eu,

pour c =-7> ï/ = K — iK', et y^i — A ^;;^ aurait pris, au delà de ce

point, des valeurs de la forme H- ih^. Dans ce cas, on aurait eu

dn(K — /K') = o, dn(— /K) = — oo .

Lorsque z décrit Taxe des^^ positifs, Axiu varie do 4- i à -h oo . Le long des axes négatifs, dnM= dn ( — il) reprendra les mêmes \aleurs que ci-dessus.

Lorsque z décrit un chemin recliligne re^P^ y/i — h-z^ décrira

la même hyperbole équilalère que y/i — :;- et se déplacera suivant

l'une ou Tautre des deux branches, suivant que y i — k'^z- partira de O avec le signe -+- ou avec le signe — .

On verra, comme pour la fonction cm/, que la distribution des

Fig

. io6.

Yi*U

it'

signes des valeurs de dnw dans chaque rectangle de dimensions aK et ^YJ. est indiquée par \^fig* io6.

Ici, dnu parcourt deux fois la série complète de ses valeurs dans rinlérieur d'un rectangle de dimensions aK et ^i¥J .

I>r» LIVEE VI. — CHAP. IV, § I.