NORMALES

1296. Disparition des puissances impaires de x sous le radical dans les intégrales elliptiques. — On donne le nom général AHntègrales elliptiques à une classe de transcendantes provenant de rintégration des didérenti elles de la forme

/'étant le symbole d'une fonction rationnelle, et

désignant la racine carrée d'un polynôme du quatrième ou du troisième degré, dans lequel on suppose que les coefficients A et B ne s'annulent pas à la fois et qu'il n'existe aucun diviseur carré de la forme [x — a)^; autrement, le polynôme sous le radical pourrait s'abaisser au second ou au premier degré, ce qui ramènerait au cas traité dans le n° 427.

En raisonnant comme on l'a fait dans ce numéro, on voit facilement, quel que soit d'ailleurs le degré du polynôme sous le radical^ que le calcul de l'intégrale

//(.rYx)./.r

peut se ramener immédiatement au calcul d'intégrales de fonc-

RÉDUCTION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. l5y

lions rationnelles et d'intégrales de Tune des quatre formes

/fïx Çx'^clx ^ fir r

fie

les exposants m et /i étant entiers et positifs.

Occupons-nous, pour commencer, delà première de ces formes, qui est la plus simple, et cherchons à la transformer de manière à faire disparaître sous le radical les puissances impaires de la variable, comme nous l'avons fait au n** 428 pour le cas d'un polynôme du second degré.

1297. Transformation du premier ordre, — Nous nous proposerons d'abord, à l'aide d'une transformation rationnelle du premier ordre, de la forme

q'jr

/fïx -4=î où X est un polynôme du quatrième degré à coefficients réels, à une intégrale de la forme

où

est la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré ne contenant que des puissances paires de j, et cela de telle manière qu'aux valeurs réelles de l'une des variables Xjy correspondent dés valeurs réelles de l'autre. Nous verrons, de plus, que l'on peut toujours faire en sorte que k^ soit une constante positive et moindre que l'unité.

Les deux différentielles— !r-î — --? étant égales entre elles pour

VX msjX

tout système de valeurs correspondantes de x et de j^, doivent devenir infinies en même temps. Or les valeurs de x qui rendent

—^ infini sont les racines

^11 ^îi ^3> ^W

1)8 LI\Ni: \l. — CIIAP. IV, § I.

Je réqualion X = o, cl les infinis de -rm sont de même

Supposons que ces deux séries de valeurs se correspondent dans Tordre indiqué.

I^a différence x — a^, devant s'évanouir en même temps

que / "i- T ou que i -f- kjy aura, si la transformation est du pre-

niicr ordre, une expression de la forme bt — » et de même

* I — iir

pour les trois autres différences x — tf^, jc — ^3, a: — a^] 1 — nj

représentant, à un facteur constant près, le dénominateur de la

formule de transformation (i). On pourra donc poser

/ .r - - /7, 1 -+- /• r .r — a. i — kr

I I ■ ta

.r — /7« I -h r .r — re.

tir

Si, dans les deux, formules de la première ligne, on fait d'une part x = «4, j^ = -I- j» de 1 autre j- = <7,, j* = — 7;, et que, pour ai)réger, on pose généralement

; .5 ) a.^ — a^, = axj,, ddù a.^^ = — a^^^

Télimination des constantes i|, b^ donnera les égalités

, , > X — *7, /• — // I -I- Âr ,r — a^ A -h n 1 — ky

( .'^ ] zn ■'— > izz — •

Les deux formules de la seconde ligne donneront de même

.r — rtj I — n 1 -h >• .r — <?., 1 -h /i I — y

''13 -4 I — té y «3, i I — ny

Des formules (5) on tire d'abord, par addition, à cause de

... n^-\-a^ ft^ — /7, Y — ^

"?. '2 1 — nj

TRANSFORMATION DU PREIIIER ORDRK. l')<)

On en tire ensuite, par division,

a^^ x I -4- // I — X En faisant tour à tour, dans cette dernière équation,

r=zai, j'^— jj

on aura

<7,, I /Il /•

fl|j I -h /l I -f- X- '

I -I- /i I — A- Ces deux égalités donnent, par multiplication et par division,

\l-f-A7 <ÏU«J4' V+''/ «J3«3/

En posant maintenant

(8) // = v'«i,rtn» «" = V'^^u^t*,

on aura

d'où

m — m n' — rt

(9' ^-/yr^i-^' "-„'+„-

Si l'on différentie l'une des formules (4), puis l'une des formules (5), on aura

dx h^ — jv* €ly dx ï — /i* dy

d'où, en multipliant membre à membre,

l6o LIVRE VI. ^ CIIAP. IV, § I.

On a d*ailleurs

Des deux dernières équations on tire, par division,

, , //.ri fir

lo) -^ = j-=f

en posant

ou encore, en remarquant que Ton a identiquement (la) w'*— '/'"*= «ii«n — «ij«n=<'u«Mi

d'où

l'4) On

enfin

«,*«« /-+-iii"

d'où

1298. Cherchons maintenant comment les formules que nous venons d'établir devront être modifiées suivant la nature des racines ai, At, ^3, a^ et suivant les valeurs attribuées à la variable x, de telle sorte que les formules de transformation aient une forme

réelle pour les valeurs réelles de— t-» et que A^ soit positif et

moindre que l'unité.

Si nous supposons réels tous les coefficients du polj^nôme X, il pourra, relativement aux racines de ce polynôme, se présenter trois cas :

1® Les racines seront toutes réelles.

TRANSFORMATION DU PREMIKR ORDRE. l6t

a^ Deux seront réelles et les deux autres complexes, 3^ Les quatre racines seront complexes.

Premier cas. — Les racines étant toutes réelles, supposons que Ton ait

Pour que le radical

V^ = V^A (x — n, , , .r — ri,) (.f — a^ ] [a: — rt. )

ait une valeur réelle, il faut, si A est positif, que x soit compris entre «, et a^, ou qu'il soit ou <^ «i on^a^,

Dans ce cas, les formules du numéro précédent satisferont toutes les conditions exig^écs.

[S] A>o, .r<«i ou >r74.

Pour passer des formules du cas précédent à celles du cas actuel, on devra changer respectivement, dans les formules du n*' 1S96,

r/3, r/4, rî,, flTj,

et c'est à ces dernières valeurs de x que correspondront maintenant les valeurs dej^

Nous poserons, en conséquence,

i //• /• -4- /t I — X r jr — rtfj / — /« I ^ ^ ^

et, en remarquant que, x — «, et x — «4 devant être de même signe, ainsi que 1 — y et 1 +j) , tandis que rt.j et /in sont àv

H. — Cowrj </r Cah, injînit,, IV. ri

iG-Jl LIVRE VI. — CIJAP. IV, I ï.

signes contraires, il en résulte que i-hn et i — n doivent être aussi de signes contraires, on aura, au lieu des formules (6) à (9),

«i -h /Fi /?v — fl| n — r

a ai — fij-

«'= yJOit''\%y ""= V^t*^»4»

I — k tfi n — I n