DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS SYNECTIQUES EN SÉRIES PÉRIODIQUES
H73. Du théorème de Laurent, démontré au n° 1148, il résulte que, siy(z)est une fonction synectique de z, dans rinlervalle compris entre deux cercles concentriques de centre c et de rayons Ro et Ri, on pourra développery(z) en une série convergente suivant les puissances entières, positives et négatives, de la différence z — c. On aura de cette manière
ou, en posant z — c =-- re'P^
j /(c -h re'P) — a^ -h a^ rt/P -h a^r^e^^P -h . . . ^ ' ^ I "h «i r-^ c-'P H- rt, r-^e-*'P H- . . . ,
le coefficient a^ dHndice quelconque étant donné par la formule générale
où p représente une constante positive quelconque comprise entre Ro et R|.
Si dans le second membre de (1) on remplace l^argument /? par j9 -h a/rTT, h étant un nombre entier arbitraire, ce second membre ne changera point de valeur. Donc, ce second membre est une fonction périodique de Tangle /?, et, par conséquent, il doit en être de même du premier membre tant que l'égalité (1) subsistera. C'est d'ailleurs ce qui résulte immédiatement de la supposition de l'uniformité de la fonction /"(z) dans l'intérieur de l'aire considérée; car, de ce que l'on a
il résulte alors que
c'est-à-dire que, si l'on considère dansy(c-r re'V») l'argument/;
lO LIVRE VI. — GHAP. II, § II.
comme seul variable, et qu'à ce point de vue on représente cette fonction par F(p), on aura
Ainsi une fonction synectique d'une variable complexe re^P de module r constant est toujours une fonction périodique de l'argument p de la variable, la période étant an [366].
HTl. On peut donner au développement (i) la forme d'une série trigonométrique , en remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, et, si l'on pose
il vient
¥[p)=z - ajj -f- aj cos/; 4- «2 COS2/3 -i- . . .
Je
-4- Pi sin/? H- Pi sina/?
On voit aisément que, si F(/7) est une fonction ;;aiVe de/; [288], le développement devra se réduire à sa première ligne et ne contenir que des cosinus. Si, au contraire, F(/;) est une fonction impaire de p, le développement se réduira à sa seconde ligne et ne contiendra que des sinus.
H75. Dans le cas où le module r est constÊtnt, on peut le supposer, ainsi que p, égal à l'unité. La formule (i) devient alors
la valeur générale d'un coefficient de cette série étant
3ir
Le terme général de la série peut s'écrire, en faisant passer le facteur e"'^ sous le signe d'intégration.
En réunissant les termes qui correspondent à des indices égaux
et de signes contraires, leur somme deviendra
I /•^'^ '^ Jo
Donc le développement d'une fonction de e'^, synec tique pour toute valeur de l'angle p et périodique par rapport à cet angle, la période étant sTr, sera de la forme
(4) F(/7)=^ r%(y)rfy + i2 j ' FM cosn (p-<f)df.
Si Ton remplace dans (3) les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, ou, ce qui revient au même, si Ton développe, dans chaque terme de (4), la valeur de cosn[p — cp), on aura une série de la forme de celle du n° 1174, où les coefficients any 13/1 auront pour valeurs
^ Jo
Dans le cas où F(^) est une fonction réelle de la variable réelle /;, le développement devra avoir ses coefficients a„, /3„ réels, et, par suite, les coefficients primitifs a,,, «„ devront être des quantités complexes conjuguées. En les mettant sous la forme
où Cn^ yn sont des quantités réelles, l'ensemble des deux termes correspondants de la série deviendra
Le développement pourra donc s'écrire ainsi :
/l = OD
(5) F{p) =Co-hi ^c^cos[np-\-yn).
1176. Pour indiquer un exemple du cas que nous venons de
la LIVRE VI. — GHAP. II, § II.
traiter, considérons la question du développement, suivant les cosinus et les sinus des multiples de Tanomalie excentrique, d'une puissance impaire négative de la distance d'une planète à un point fixe.
Si Ton désigne par p cette anomalie excentrique, par H, K, a, G des constantes dépendant des éléments de Torbite et de la position du point fixe, le carré de la distance en question se présentera
sous la forme
A'=:H -f-Kcos(/> — «)-+- Gcos2;?.
La fonction ÙT^, (jl étant un nombre entier positif et impair, bien qu'étant obtenue par l'opération de l'extraction de la racine carrée, qui donne lieu à deux déterminations, pourra néanmoins, comme nous le verrons plus tard, être considérée comme uniforme et continue dans l'étendue d'une aire qui ne contient aucun zéro ni aucun infini de cette fonction, et par suite aucun point-racine de l'équation A^ =o.
Or une discussion facile montre que les racines de l'équation A* = o, qui est du quatrième degré par rapport à e'/*, sont de la forme
ae'^ ^e'^ be-'\ \ c~'^, n b
a, h étant, ainsi que 9, des constantes réelles, et pouvant être supposées telles que l'on ait
La valeur de A^ pourra ainsi s'écrire
A* 1= -^ (i — ae-i'^z] ^ - 17^-9 1 V I be^^z) ix - be-^"^ i^ .
On se propose maintenant de développer suivant les puissances de ^ = e^P la fonction
et il s'agit de reconnaître a priori si ce développement est possible.
Le module de z étant égal à l'unité et les modules des racines de
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. l3
Téqualion A^ = o satisfaisant aux inégalités
le point z sera toujours compris dans l'intervalle de deux cercles
décrits de l'origine comme centre, avec les rayons a et -> et cet
intervalle ne contiendra aucun zéro ni aucun infini de la fonction F{p). Donc le développement proposé sera toujours convergent et sera de la forme de la série (5) du numéro précédent.
1177. Sous la forme que nous avons donnée au développement (i) de /"[c -h re*P) =F[p)y la variable p est supposée n'admettre que des valeurs réelles, et la période 27r de la fonction est aussi réelle. On peut transformer ce développement en un autre qui représente une fonction d'une variable complexe, ayant pour période une constante complexe quelconque.
Posons
w étant une nouvelle variable et X une constante arbitrairement choisie^ réelle ou complexe.
La fonction y(z) =F[w) ne changeant pas de valeur lorsque p croît de stt, et par suite fv de X, F(çv) sera une fonction périodique d'une variable complexe (v, ayant pour période une quantité quelconque X.
En faisant ces substitutions dans la formule (i), on obtiendra pour F(çv) un développement suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentielle
et dont le coeilGcicnt a„ sera donné par la formule
l4 LIVRE VI. — GHAP. II, § II.
en posant
sr I M
et remarquant que, p étant constant dans l'intégration, on devra
aussi considérer jf = log - comme une constante.
On aura alors un développement de la forme
iTiw 4 r. I tv
1178. Par suite du changement de la variable, le contour de Taire dans laquelle était renfermée la variable z va changer de forme. Voyons par quelles lignes seront remplacés les deux cercles qui limitaient primitivement cette aire.
Pour cela, voyons quel lieu décrit le point od quand le point pe'> décrit un cercle de rayon p. Si Ton pose
l'équation -y- = cp 4- l'x ^ioi^i^c» en égalant les parties imaginaires,
rsm(p-ô):==---X = — log-,
équation qui est, par rapport aux coordonnées polaires r, p, l'équation d'une droite parallèle à la droite qui va de l'origine au point X. Donc le cercle de rayon p se change en une droite menée à la distance
hz=z — log-
de l'origine O et parallèle à la droite OX.
De même, si Zo, z^ sont les points de discontinuité àef[z) par lesquels passent les deux cercles de centre c, et ^'o, Wi les points de discontinuité correspondants de la fonction F(f^), les deux cercles seront remplacés par deux droites passant par ces points ^o> w^j parallèles à OX et situées aux distances
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. l5
de l'origine. Donc l'aire de convergence comprise entre ces deux cercles se trouve remplacée par l'aire indéfinie comprise entre les parallèles en question, et la fonction F((v) sera développable sous la forme (7) pour tout point w de la bande limitée par ces parallèles.
Tandis que les valeurs de z correspondantes aux diverses valeurs p -T- tikit de l'argument se recouvraient en un seul point, les valeurs çv H- A:X de la nouvelle variable formeront, pour les divers nombres Ar, une suite de points équidistants, situés sur une même parallèle à OX.
1179. Dans le cas de X réel, on a d = o, et OX coïncidera avec l'axe des x. L'aire de convergence sera alors une bande comprise entre deux parallèles à cet axe. On peut passer du cas de X complexe à celui de X réel, et vice versa, par une simple rotation de l'axe des x, en multipliant (v et a> par e^'*.
1180. Si l'on remplace la quantité ;f par sa valeur —^1 et que l'on fasse, de plus,
la valeur (6) du coefficient a,i deviendra
„,=ir'p(yi±ia).'^"'*-'v
En transportant l'axe des x parallèlement à lui-même, on pourra amener l'origine O entre les deux parallèles limites, sur la droite intermédiaire située à la distance Ii de l'origine primitive, et l'on devra alors remplacer h par zéro, ce qui donnera la formule plus simple
(9) """"^iX ^^''^'^^' ' '^' ou, en supposant, de plus, X réel et d = o,
(10) ''-^ij ^^^^"^ ' ^*-
iG LIVRE VI. — CHAP. II, § II.
tn-K .
Dans ce dernier cas, le terme a^e ' prendra la forme
et le développement pourra s'écrire, d'une manière analogue à la série (4),
Dans les formules précédentes, qui déterminent la valeur générale des coefficients a,i du développement, on peut remplacer les limites o et / par d'autres dont la diflerence soit égale à la grandeur / de la période. Il suffit pour cela de remplacer çv et t]/ par
ce qui revient à déplacer l'origine sur l'axe des x. En posant alors F(çv) = F| (^), la formule (lo) devient
(.2) ''"^ij^^i ^'^'^'^" ^'^''
d'où
-^12^ J Fi (-y ) cos L U ^.y.
1181 . Lorsqu'on voudra obtenir le développement dey(^) pour un point z situé en dehors de l'intervalle des cercles menés parles points ^0; Zxj par exemple dans l'intervalle des cercles menés par le point Z| et par le point de discontinuité suivant Zi dans Tordre des distances à c, on devra donner à p une autre valeur, comprise entre les distances cF|, czl^ et substituer cette valeur dans l'expression (2) de an»
De même, lorsqu'on voudra développer F(iv) pour un point w situé en dehors des parallèles à OX menées par Wq et W\f et compris, par exemple, entre les parallèles menées par W\ et le point de discontinuité suivant ^2, on donnera à /t, dans la formule (8), une nouvelle valeur comprise entre les distances /ij, /12 de W\jW%k O)..
§ ni.
