LIVRE VI. — CHAP. IV, § I
1306. La formule de réduclion que nous venons d*établir se simplifie :
1** Dans le cas où Ton a
— -,cos*'
ce qui donne, en changeant ^ en </ + i,
~ cos*^~"* y
-(ay-3;x«V,,
formule qui permet d'exprimer V^, V^.i, ...,V| au moyen de»
deux intégrales
et de fonctions rationnelles de sincp, cos*^, A'p. 2" Dans le cas où Ton a
ce qui donne la formule
en vertu de laquelle on exprimera V^, V^i , . . . , Vj au mojen des deux intégrales Vo, V i et de fonctions rationnelles de sîncp, cos^, A(p.
13U7. II. En diflfércntlant de même l'expression et intégrant de nouveau, on aura, pour l'intégrale
la formule de réduction
= siQ'''~'y cosy Ay,
RÉDUCTION DE l'iNTÉGRALE fv{x^^\.)(lx. J79
qui permettra d'abaisser l'exposant/; jusqu'à la valeur i lorsqu'il est positif.
Si p est négatif et = — y, on aura, en changeant q en q — a, 1» formule de réduction de l'intégrale
Vf,
savoir
1308. Il est aisé de voir que les deux intégrales
s'expriment immédiatement au moyen des deux intégrales On a, en effet,
Donc, dans tous les cas possibles, l'intégrale fF{xy^K)dx pourra s'exprimer au moyen des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires, et des trois transcendantes
Jo ^?' Jo ^^ ^' Jo (i-H./sinV)Ay'
auxquelles on a donné les noms d'intégrales elliptiques de première, de deuxième et de troisième espèce.
L'intégrale de première espèce, que Legendre a représentée par le symbole
l8o LIVKE VI. ~ CHAP. IV, J I.
dépend à la fois de sa limite sapérieure 9, qu'on appelle V amplitudcj et de la constante Ar, qui est dite le module. Nous nous dispenserons d'écrire le module toutes les fois qu'il sera désigné par la lettre h\ s'il est représenté par un autre signe, par la lettre / par exemple, nous le mettrons en évidence, en écrivant
La même convention s'appliquera aux autres intégrales elliptiques et généralement à toutes les fonctions de l'argument et du module. L'intégrale de deuxième espèce est désignée, suivant la notation de Legendre, par
expression qui représente la longueur de l'arc d'ellipse [746, 1].
Enfin l'intégrale de troisième espèce est représentée par le symbole
II V /f =: I
Elle dépend de trois quantités : l'amplitude f , le module k et le paramètre n.
Depuis les travaux d'Abel et de Jacobi, on rapporte généralement toutes les fonctions elliptiques à l'intégrale de première espèce, considérée comme variable indépendante. En posant
nous avons vu que les quantités 9, sin9, . . . sont représentées, en fonction de u, par les notations am», snu, ....
A cause de df = dnudu^ l'intégrale de deuxième espèce peut se mettre sous la forme
Afdf =■ 1 dDrudu,
en la considérant comme une fonction de u. Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, nous la représenterons, avec
RÉDUCTION DE l' INTÉGRALE y^F(j:, v/X)r/Lc. l8r
Gudermaniiy par
eltt.
Enfin l'intégrale de troisième espèce peut se mettre sous la forme
« du
Q i -h /i sn* «
1309. Nous avons vu dans le Chapitre précédent que, si roi> pose
dz Çf dff
Tangle îp = arcsin? est dit Y amplitude de la variable «,
y = am tf ,
et que les diverses ybnc«io7z.ç circulaires de celte amplitude,
siny, cos^f A3», tang9>,
sont dites les fonctions ellipliques de la variable «,
snu, cntt, dnu, tni/.
Ces notations supposent que le module de ces fonctions soit
la quantité désignée par la lettre h. Si le module était représenté
par une autre lettre, / par exemple, on le mettrait en évidence en
écrivant
am(i<,/], sn(^/,/), ....
Si /est égal au module complémentaire
alors, au lieu de am(/i, V), sn(a, V), . . ., nous écrirons simplement
am'tf, sn'tf, cn'«, dii'w, tn'w.
l8a LIVBE VI. — CHAP. IV, § lî.
L'intégrale Uy suivant qu^on la considère comme fonction de {^amplitude f y de sincf = snii = z, de cosf = cnu = Zi, etc., se représente par les notations
u =r urgam f ^= arg sii z =^ arg en Tj =: . . . .
1310. On a entre les fonctions elliptiques d^un même argument u les relations
/ sn* « -I- en' « r= i , Â * su' u -t- <ln* « =1: I , dn»« — A»cn*« = X'*, sn it
ln« =
cnu
De l'égalité
eif =: If . du, OU rfara u =z dau tlu
et des relations précédentes on tire les formules
[ Draina = dn/<, D„sn£/ = cnttdnu, D„cntt = — sQudnr/, >; I . .- dnn
D,.dntt= — X'snttcna, D„tn«=: — r-
cn'«
Si Ton fait tour à tour
/ = am//, sni/y cnK, dntf, tni/, l'argument elliptique u se présentera sous les diverses formes
arg a nu =
argsnr =
/ arg en f =
argdnr =
argtnr =
*/o V^i — /*sin*/
Jo v^.-f»)(i-X-V)'
r^ dt
PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l83
D'après ce que nous avons vu,
( amtfy sni/, inn sont des fonctions impaires de tf,
( cnxi, dni/, des fonctions paires,
les premières s^annulant et les secondes devenant égales à Tunilé pour M = ().
Pour IX = K, on a
'51 amK=-» 8nK=i:i, cnK = o, daK = X', tnK = oo.
Si le moduleÂ'=sin5 se réduit à zéro, on a
,^ ( e = o, k'=COS0-ï, K=-, K'=:x,
\ amwi=r/i = y, sna=:sin«, cni/r^cosi/, dnM = i, tna=:tang//.
Si A" devient égal à l'unité, on aura alors
k'—o, 6z=-, Ki=30, K'= -, w = logtang(5^ +,7),
