I TT

(5) ^ y = am(tf, 1) = Amhi/ = aarctangc" ,

snu =iThuy cnu = dau = -, — 9 tnuz=Shn.

Chu

1311. De la discussion relative à la périodicité des fonctions elliptiques [1289 à 1295] il résulte que, si Ton suppose

tt m l/^-f- 2WK4- 2rtiK',

on aura i\muz=z (mzh/iJTT + ( — i)'"amMo, (8) / sna z= [ — ij'^snwot

cni£ = ( — i) '"■*■'• en «0»

dn« = (— ij^dni/g, tnw =: ( — ij^lni/p.

l84 LIVBB VI. — CHAP. IV, § II.

Si Ton suppose u égal à une somme de multiples pairs ou impairs de K et de iK', on aura le Tableau de valeurs suivant :

SDH

cnn

dnu

tna

2mK-h2nîK'

(•jm-4-i)K-Hart«K' amK-»-(a/i-hi)iK'

(2/lt-Hl)KH-(2/l-+-l)lK'

oo o

13i2. Théorème d'addition des Jonctions elliptiques. — Nous avons déjà démontré au n° 827 la relation qui existe entre les fonctions elliptiques de deux arguments u, \f et celles de leur somme u -\- v. L'importance de ce théorème nous engage à en donner encore une autre démonstration très-simple, due à M. Darboux.

L'argument u et la fonction a: = sn a sont liés par Téquation

qui donne, parla différentiation,

d'où

fix d}x du du}

flr

^.-:ni----['-^'^'''^^'-')T.^

du

du^

Pour une autre valeur ^^ de la même fonction, on aura de même

du

j = -j(i + x'-2XV).

Les équations (lo)et(ia) donnent

(,3) r^ — x^=2>t*xv(.r»-r«l.

On tire, de plus, des équations (9) et (11),

En divisant Tune par l'autre les équations (i3) et (14)7 îl vienl

en mu

Itipliant de part et d'autre par [f-j — '"•^7" ) ^"' ^" ^^ ^"'^'

^ du du j 2 k^ xyd ( xy )

dx dy I — lî^x^y

du ' du

d'où, en intégrant,

C étant une constante arbitraire.

Or, si y ( a) est la fonction de 11 à laquelle x doit être égal en vertu de l'équation (9), les relations [827, IV]

montrent que les deux inléerales / — ^> / -7- doivent avoir

une somme constante a, d'où il résulte que j" = 'Y(a — u). On a donc, en vertu de (i5).