X0 LITBE VI. — CHAP. IV, | II
Si l'on suppose maintenaDl u == o, d'où ç(tt) =x=o, ^'(«)=ri, il vient, pour valeur de la constanle arbitraire.
Si donc on pose a — u = ^, l'équation deviendra
I — A- V tt - -^ r /
OU enfîn, en remplaçant la notalion o par sn et remarquant que ^'•w; = ^ I — sn-// I — A-sn-//y = cni/dnw,
sn K en r cin r -4- sn v en n dn «
I — A* sn'«sn*p
4313. On peut encore obtenir autrement cette formule et les
formules analogues relatives aux autres fonctions elliptiques.
Reprenons les équations trouvées au n" 827, V, où nous avons
posé
y = ;imtf, ;,r = amp, a = ani ^a -4- p) = ani«'.
En mettant, dans les équations (i), [i), (3) de ce numéro, à la place de A, B, C leurs valeurs en fonction de a, il vient
l —. sin '«/ — /. :^D„ '9 -f- y\
17) * At-4- I . , , ^ , ,
(At — i] cos^y — /) — (At -h i) cos(9 4- x) -4- acoso-^:: o. En vertu des relations
^ - A9 ^- - -^ - - Ay
les deux premières de ces équations peuvent s'écrire
( A(7 — I ) sin ( y — X) ~ ( -^^ — ^X) si" <^t (AT-f-i)sin(y-t-x) — (A<p-t-Ax)sin(r,
d'où l'on tire
sino-A^ =: sin3?cosx^<3' -+- sîn;^cosy,
sinaA;^ = sin;^cosyAo- 4- siny cos^'
PROPRIETES DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iBj
La Iroisièine relation (17) équivaut à celle-ci :
coso" = cosy cos;^ — sinf sin^AT.
En introduisant maintenant les arguments des fonctions elliptiques au lieu des amplitudes, les trois dernières équations
deviennent
I' sn H' dnu = sii u on (^ du cp + sn (^ en u, snri'dnp == sni'ciittdnri' -h snacnc, cncv r=cn«cn<» — sn^/siifdnfv.
La relation
«-+-!' Cl' = O
pouvant s'écrire encore de deux autres manières,
i' -h { — «') — ( — ft ) =: o, «' -4- ( — u) — (' =0,
on pourra, des trois formules (18), en tirer six autres, en remplaçant respectivement
soit par soit par
1314. Des deux premières équations (18) on lire
sn* u cil* i' — sn* c en* u
sn(i/ -h <•) =^
sn 1/ en p dn p — sn c en u dn /«
En multipliant les deux termes de la fraction par la somme des termes dont le dénominateur est la différence, et exprimant cn^w, dn^i/, cn*t^, dn^ç* au moyen de sn^w, sn^Vy on retrouvera la formule (16).
On obtiendra de même la formule
, . . , . ànuànv — ^*sn// snrcm/cnt'
19) dnftt-4-r)=: — .
^ ^' ^ ' I — X*sn*ttsn*t'
En portant cette valeur de dn(a+ v) dans Téquation (6), on
l88 LIVRE VI. — GHAP. IV, § 11.
aura
en K en f • — sn u sn p dn tf dn «»
(20) cn(ii-hf)^=
I — A'sn*!/ sn'i»
En divisant Tune par l'autre les formules (i6) et (19), on en lire
, V , . tn II dn p -f- tnpdntf
21 tn'w-hp = ; — j
* I — tni/ dup.tnpdn/<
U. i. I j j snfw -f- r
ipiiant les deux termes du rapport — \ — — ■ '^'^ cn(u -h i'
par la somme des termes dont le dénominateur est [a différence, et divisant haut et bas par i — k^ sn^ u sn^ r,
, . , . sotf rnw dnp -h snpcnpdntf
22 tn «-+-•• =-- ,- — ,- .;,— , ,- •
cn'ttcirp — A-'sn' Il sn'p
Enfin, Téquation (21) donne immédiatement
23) ain(« -f-i) ^ arctang(tnttdni') -+- arc tang(tni'dn 11).
1315. En faisant, dans les formules précédentes, 11 = r, on a les formules pour la duplication de l'argument :
2sn II en II dn II sa2ii — — - — ,
1 — A^sirii
en' u — sn'« dn* n
cn9.u = - — , — ; >
I — A-'sn*ii
i7Â) < , dn*i/ — ^*sn*£ieii*ii
' ^' \ dn2« =z - -,v— r >
1 — / * sn* u
2 tn II dm/
tn 2 u =
I — tn*« dn*ii 1 ara 2 II = 2 arc tang [ tn u dn u ) .
1316. Si dans les formules (16), (19), {^o), (21) on change i' en — V, on obtiendra les fonctions elliptiques de la diflérence « — i' des arguments.
En combinant ensemble ces deux séries de formules, on en déduira les formules données par Jacobi au § 18 des Fundamenta. On a, par exemple, en faisant, pour abréger,
u -^v:= Sy U — v=zty I — /•* sn* u sn' p = "W,
les relatioDs
'W(sn* -f- sut) = 2sntf cnpdni', 'W(sn5 — snt) = 2snp cnudni/y W(cn5-hcn/)= 2cni£cnp, W(cn.'P — cn^) = — isnusnvdnudm^ W(dn5-hdnr)= ^dniidiK^, "W(dn5 — dut) r-- — 2/-'sni/sn('cn</cn(', Wsnisnr rzz sn*« — sn*t',
"Wcnscnt = cn*ii — sn*pdn*w,
"Wdnjdn/ r:=dn'i/ — /*sn'i/sn*(»,
W(i — sn^sn/) z= en* Il 4- sn'rdn^a,
2tni/dni'
tn.V + Xnt := r— ; 77; j— >
cn'j'(i — /• ' tira tn*i') etc.
1317. Considérons les fondions de V argument complémentaire K. — u. Nous les représenterons par les mêmes lettres que les fonctions correspondantes de Targument u, en ajoutant seulement à ces lettres la lettre c. Nous écrirons ainsi
ani(K — «)n=amc«, sn(K — i/)i^snca, cn(K — w) = cnci/, etc. [*).
En faisant, dans les formules des n"' 13i2 et 1314, u=:K et i' = — u, on aura
cn« ^'snw - /' I
snctt = -T — 9 cncu = —. » dnctt=i-T — * tncttnr:— «
dnw dn« dnu A- inu
amctt= - — arctang(^'tni*].
On tire de là les relations
snc u cnc u snucnu
dncu dntt
dnu dnctt = = X',
tn u tnc u
(') Jacobi désigne ces mêmes fonctions par les notations
coam u, sin coam u, cos coam u, elc.
ou
