LIVRE VI. — CHAP. IV, § Il
snci/cncu Ar' dnc/i
SRI/ en// dn'/< dm/
On conclut de ces formules que
( snc //y dncu sont des fonctions paires de i/, ( cnci/, tncii sont des fonctions impaires de //,
1318. D'après ce que nous avons vu aux n^* 1287, 1291, 1292, 1294, les fonctions elliptiques, pour les valeurs o, K, iR', K±iK' de Targument u, prennent les valeurs indiquées dans le Tableau suivant :
en M
dnii
tu M
OC
iK'
-f-ao
KdziK'
En combinant ces valeurs avec les formules d'addition des n°' 1312 et 1314, on obtient les valeurs des fonctions elliptiques de Targument U pour chacune des valeurs mH-K, w-4-iK',
snU
ciiU
dnU
tnU
,,j-Kh-iK'
— cnc M dn« k'
dncu.
— tnc tt
do« 1 idnisc
A snu
l'A snu l'A eue a
dncK A' l'A snc it l'A en u
ilnu
* - — lA' tn u
A sne u
tnc u
dncu A'
On peut vérifier directement ces formules en remarquant que l'on a
Jp ^ i — ^ * sin' f
Si Ton pose
cos©
SlUfi = -y
on en tire
/ * sin ^ cos f\ dff A" sin y rt^
cos^i chi =:.{ — Ay sinç> -h cosy
Ay y A*y A'y
d'où
^nr— ^, K — W= r'*^,
sin^, i=r sn(K — w).
1319. Nous distinguerons, comme nous Tavons indiqué plus haut [1309], par un accent les fonctions elliptiques relatives an
module complémentaire A'= ^ i — A^, et nous aurons ainsi am'tt = am(tt, A'), sn'w =:sn[//, A' ), ....
Si Ton pose
r^ dz
on en conclura
z=:snw.
Changeons z en iz ; il viendra
Jo ^[i — [i^)^][i-'^\iz)^\ Jo V^(i + z5)(i-f-A-'z*)'
En comparant cette formule avec la dernière formule (3) du n«> 1310, on en conclura
- = arg tn [z. A' h= - arg sn iz, i V ^ ' i
Donc on a à la fois
îz =• snw, z = tn -7»
ig^ LIVRE VI. — CHAP. IV, § II.
d^où; en changeaut u en lu,
^27) snitf = /in'i/.
De même, dans la formule
C* Hz axa cnz = « = — / 9
changeons z en -; il viendra
d'où Ton tire
— = en «, z = cil -
En cliangeanl donc n en 11/, on aura
f 28 ) en m ^ — f— •
^ ' en «
Des formules (27) et (28) on tire immédiatement '20! tn/a = /sn'tt.
Enfin, en changeant u en iu^ la formule (27) donne
3o) dn^tt = V' -H / tn'*« = — r- = — r-t
' en u snc a
snc'« désignant sn(R' — u, A').
On peut encore vérifier cette formule comme il suit. Soil
I dn«^
snca cn«' on en tire
djr X-'* sn u
du CQ* u
D'ailleurs
partant,
Cïi^ udf dy
du z=z
Donc, en changeant k en A^, on aura, pour j^ = — j- 9
soc u
Or on a, en supposant z = dnit,
= — i X l'argument dont la fonction — ; est égale à z. Par conséquent, on a
, u I , I dn'u
dn — = ,— » ou cin iu = =
i snc « snc'i/
en u
Des formules que nous venons d'établir on déduirait aisément les valeurs des fonctions elliptiques de l'argument u ■+• iK! qui se trouvent dans le Tableau du numéro précédent. On a, en effet,
sn (u + /K'] = sn / (K' — iu] = i tn'fK' — tu] = i Inc' iu = -— Vr- = 7-^ 1 ^ ' ^ ' ^ ' kXVLiu /*sna
et de même pour les autres fonctions.
DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS SIMPLES.
1320. Nous avons établi, au n"* 1206, la formule
la première intégrale se rapportant au contour de l'aire 3, les autres aux divers infinis c de la fonction y*(i/) contenus dans cette aire.
Prenons pour 3i l'aire entourée par une courbe de dimensions
H. — Court de Calcul infin,, IV. 1 3
ig4 LIVBB VI. — GHAP. IV, § III.
infiniment g;randes et de forme quelconque, symétrique par rapport à Torigine, mais ne passant par aucun des infinis de la fonction, de sorte que fiy) ne devienne infinie en aucun point du conlour. Si Tintégrale
prise le long de cette courbe, a, en deux points diamétralement opposés, ses éléments égaux et de signes «contraires, alors cette intégrale sera nulle, et il en sera de même de Tintégrale
dont la valeur différera infiniment peu de celle de Tintégrale précédente [1211], si tous les points c sont situés à des distances finies de Torigine. Donc, dans ce cas, la valeur dey*(u) se réduira à
c'est-à-dire à la somme des résidus de la fonction (u) relatifs aux infinis de cette fonction compris dans Tintérieur de Taire 3.
Si les points c se rencontrent à des distances aussi grandes que l'on voudra de Toriginc, et que la première intégrale de la formule (i) ait toujours pour limite zéro lorsque tous les points du contour s^en vont à Tinfini, la formule (a) continuera à subsister.
Nous avons déjà, dans le Chapitre II du Livre VI, appliqué cette
formule au développement des fonctions sinii, tangu, coséca, ...:
appliquons-la maintenant au développement des quatre fonctions
elliptiques
snu, en M, dnir, tn/f.
1321. Supposons d'abord
/( // ) ^ sn ff .
Cette fonction étant impaire, l'intégrale i du, prise le long
d'un contour infini, symétrique par rapport à l'origine, sera nulle. Les infinis c de la fonction snii sont compris [1289] dans la
DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS SIMPLES. IqS
formule #
Le résidu de cette fonction snu, relatif à Tun de ces points, sera
lim (u — c) :
or, en posant
\j = s -h c= s -+• 2/iiK -h (a/î + i)/K',
on a [1289 et 1318]
snu = (— i)'~sn(8 + /K')= ^ , — ^ -,
^ ' ^ ' A- su c
donc, lim — étant l'unité, la valeur cherchée sera sne
hm ^-r— ^ -, —7-,
1=0 ^snc u — s — 2mK. — j^2.n -i- ijiYJ
En conséquence, la formule (2) donne, pour m et n croissant TuD et Tautre à l'infini,
/• ;^ -^ w — 2mK — (2// -l-i)/K'
Si l'on suppose que l'aire ^ ait la forme d'un rectangle dont le centre soit l'origine des coordonnées et dont les côtés soient parallèles auK axes, on pourra d'abord sommer les termes qui se trouvent sur une même parallèle aux x, et calculer, pour n constant, l'expression
en faisant, pour abréger,
Or on a [1212]
coséco: = lim ^^ -^ —
